Tenemos una opción para cortar el sólido de revolución (obtenida por revolución de $y = f(x)$$x = a$$x = b$) en varios sectores de la siguiente manera:
- cada sector es un cilindro
- cada sector es una sección de cono cortado por dos planos paralelos (un truncado de un cono)
Deje que el deseado rebanar ser realizado a través de la partición $$P = \{x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$$ of $[a, b]$. Vamos a aplicar ambos enfoques mencionados anteriormente para calcular el área de la superficie, así como el volumen del sólido de revolución.
Primero tenemos que hacer con el volumen que tiene un análisis más fácil. Si queremos cortar el sólido como cilindros, a continuación, la aproximación de volumen está dado por $$V(P) = \pi\sum_{i = 1}^{n}\{f(x_{i})\}^{2}(x_{i} - x_{i - 1})\tag{1}$$ which is a Riemann sum for the integral $\pi\int_{a}^{b}\{f(x)\}^{2}\,dx$ y este es el volumen deseado.
Si queremos cortar el sólido en frustums de cono obtenemos la aproximación de volumen como $$V(P) = \frac{\pi}{3}\sum_{i = 1}^{n}\left[\{f(x_{i - 1})\}^{2} + f(x_{i - 1})f(x_{i}) + \{f(x_{i})\}^{2}\right](x_{i} - x_{i -1})\tag{2}$$ which is split into 3 terms and each term is a Riemann sum for $(\pi/3)\int_{a}^{b}\{f(x)\}^{2}\,dx$ so that the desired volume is again $\pi\int_{a}^{b}\{f(x)\}^{2}\,dx$
Vamos ahora a la superficie del sólido de revolución. Si queremos cortar el sólido en los cilindros, a continuación, el área de la superficie se aproxima por $$S(P) = 2\pi\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(x_{i} - x_{i - 1})\tag{3}$$ which tends to $2\pi\int_{a}^{b}f(x)\, dx$.
Si queremos cortar el sólido en frustums obtenemos la aproximación de área de superficie como $$S(P) = \pi\sum_{i = 1}^{n}\{f(x_{i - 1}) + f(x_{i})\}\sqrt{(x_{i} - x_{i - 1})^{2} + ((f(x_{i}) - f(x_{i - 1}))^{2}}\tag{4}$$ which can be simplified by the use of mean value theorem as $$S(P) = \pi\sum_{i = 1}^{n}\{f(x_{i - 1}) + f(x_{i})\}\sqrt{1 + \{f'(t_{i})\}^{2}}\cdot(x_{i} - x_{i - 1})\tag{5}$$ for some points $t_{i} \(x_{i - 1}, x_{i})$. This can be split into two sums each of which is a Riemann sum for $\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1 + \{f'(x)\}^{2}}\,dx$ so that the desired surface area is $2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1 + \{f'(x)\}^{2}}\,dx$.
Vemos que en el caso de volumen de ambos enfoques dan la misma respuesta. Pero en el caso de la superficie de las respuestas obtenidas por los dos métodos son diferentes. Nota además de que de las dos respuestas que podemos comprobar fácilmente que uno es correcto mediante el uso de $y = x, a = 0, b = 1$, de modo que el sólido de revolución es un cono circular. Esta verificación muestra que la técnica utilizada en la ecuación de $(4), (5)$ da la correcta de la superficie de la zona.
La pregunta que OP es preguntar es esto:
¿Por qué ambos enfoques (el uso de los cilindros y frustums) dan el mismo resultado para el volumen, pero de diferentes resultados para el área de la superficie?
La razón es simple. Tanto las cantidades en $(3)$ $(4)$ están tratando de aproximar el área de la superficie del sólido, pero hay una gran diferencia entre ellos, es decir,$$\Delta = 2\pi\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})\left[\sqrt{1 + \{f'(t_{i})\}^{2}} - 1\right](x_{i} - x_{i - 1})$$ and this itself is a non-zero sum unless $ f'(x)$ is identically zero. So the approximation $(4)$ is trying to take into account some additional surface area which is left out by sum $(3)$ and this additional part is significant unless $f'(x) = 0$ identically. Hence $(4)$ es una mejor y correcta aproximación.
En el caso de los volúmenes de las aproximaciones $(1), (2)$ son las sumas de Riemann para la misma integral (sino que se expresa en formas ligeramente diferentes).
