Producto Tensor de álgebra $\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$

Question

Quiero entender el producto tensor $\mathbb C$-álgebra $\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$. Por supuesto que debe ser isomorfo a $\mathbb{C}\times\mathbb{C}.$ ¿Cómo se puede construir una explícita isomorfismo?

Answer 1

Escribir $\mathbb C=\mathbb R[x]/\langle x^2+1\rangle$ para uno de los ejemplares. A continuación, con una característica universal del tensor de productos, $$\mathbb C\otimes_{\mathbb R} \mathbb C \;\approx\; \mathbb R[x]/\langle x^2+1\rangle \otimes_{\mathbb R}\mathbb C \;\approx\; \mathbb C[x]/\langle (x+i)(x-i)\rangle \;\approx\; \mathbb C[x]/\langle x+i\rangle \oplus \mathbb C[x]/\langle x-i\rangle$$ la última isomorfismo vía Sol-Ze del teorema (un.k.una. "Teorema Del Resto Chino"). Esa última isomorfismo puede ser explícita, por elección de los polinomios $A(x),B(x)$ tal que $A(x)\cdot (x+i) + B(x)\cdot (x-i)=1$.

Edit: esto trata "de derecho" $\mathbb C$-álgebra, pero/y revertir los roles que da el mismo resultado como "izquierda" álgebra.

Answer 2

Explícito de isomorfismo de $\mathbb C$-álgebras (generadores) por $\mathbb C\otimes _\mathbb R \mathbb C\stackrel {\cong }{\to} \mathbb C\times \mathbb C: z\otimes w \mapsto (z\cdot w,z\cdot\bar w)$.
Aquí $\mathbb C \otimes _\mathbb R \mathbb C$ es considerado como un $\mathbb C$-álgebra a través de su primer factor: $z_1\cdot (z\otimes w)=z_1 z\otimes w$