¿Por qué racionalizar el denominador?

Question

En la escuela primaria aprendemos a racionalizar denominadores de fracciones cuando es posible. Se nos enseña que $\frac{\sqrt{2}}{2}$ es más simple que $\frac{1}{\sqrt{2}}". Una respuesta en este sitio dice que "hay un sesgo en contra de las raíces en el denominador de una fracción". Pero tales fracciones están bien definidas y no veo nada malo con $\frac{1}{\sqrt{2}}" - de hecho, en mi opinión es más simple que $\frac{\sqrt{2}}{2}$ porque 1 es más simple que 2 (o similarmente, porque el primero puede ser trivialmente reescrito sin una fracción).

Entonces, ¿por qué existe este sesgo en contra de las raíces en el denominador y cuál es su justificación? La única razón que se me ocurre es que el sesgo es un vestigio de una época antes de que los números reales fueran suficientemente entendidos por los matemáticos como para sentirse cómodos dividiendo por irracionales, pero no he podido encontrar una fuente que corrobore o contradiga esta suposición.

Answer 1

Esto era muy importante antes de los computadores en problemas en los que tenías que hacer algo más después de calcular una respuesta.

Un ejemplo simple es el siguiente: cuando calculas el ángulo entre dos vectores, a menudo obtienes una fracción que contiene raíces. Para reconocer el ángulo, siempre que sea posible, es bueno tener una forma estándar para estas fracciones [nota al margen, a menudo veía a estudiantes que no podían encontrar el ángulo $\theta$ tal que $\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$]. La forma más simple de definir una forma estándar es haciendo que el denominador o numerador sea un número entero.

Si te preguntas por qué el denominador es la elección, es la elección natural: como dije, a menudo necesitas hacer cálculos con fracciones. ¿Qué es más fácil de sumar: $$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \, \mbox{ o }\, \frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \,?$$

Observa que llevar las fracciones al mismo denominador suele ser más fácil si el denominador es un número entero. Y ten en cuenta que en muchos problemas comienzas con cantidades que deben ser reemplazadas por fracciones en forma estándar [por ejemplo, en trigonometría, los problemas se plantean en términos de $\cos(\theta)$ donde $\theta$ es algún ángulo].

Pero al final del día, es solo una convención. Y aunque pienses que $\frac{1}{\sqrt{2}}$ parece más simple, y tienes razón, la clave con las convenciones es que deben ser consistentes para los casos en los que necesitas reconocimiento. La que parece más simple a menudo es relativa...

Answer 2

La razón histórica para racionalizar el denominador es que antes de que se inventaran las calculadoras, las raíces cuadradas tenían que ser aproximadas a mano.

Para aproximar $\sqrt{n}$, donde $n \in \mathbb{N}$, los antiguos babilonios usaron el siguiente método:

1. Hacer una suposición inicial, $x_0$.

2. Dejar que $$x_{k + 1} = \frac{x_k + \dfrac{n}{x_k}}{2}$$

Si utilizas este método, que es equivalente a aplicar el Método de Newton a la función $f(x) = x^2 - n$, para aproximar la raíz cuadrada de $2$ a mano con $x_0 = 3/2$, verás que aunque la secuencia converge rápidamente, los cálculos se vuelven difíciles después de algunos pasos. Sin embargo, una vez que se tuviera una aproximación, era fácil calcular $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ rápidamente racionalizando el denominador para obtener $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ y luego dividiendo la aproximación por $2$.

Answer 3

Es posible que me lo haya perdido, pero hay una razón importante que creo que ha sido omitida en las otras respuestas. (Ahaan Rungta la mencionó, pero no la explicó en detalle).

Recuerda cómo se calculaba algo como $\frac3{17}$ antes de aproximadamente 1964:

$$\require{enclose} \begin{array}{rl} 17&\enclose{longdiv}{3.000\ldots} \end{array}$$

$$\begin{array}{rlll} & \ \ \ \,0.1\\ 17&\enclose{longdiv}{3.000\ldots} \\ & \ \ 1.7 \\ \hline & \ \ 1\ 3 \end{array}$$

$$\begin{array}{rlll} & \ \ \ \,0.17\\ 17&\enclose{longdiv}{3.000\ldots} \\ & \ \ 1.7 \\ \hline & \ \ 1\ 30 \\ & \ \ 1\ 19 \\ \hline & \ \ \ \ \ 11 \end{array}$$

Y así sucesivamente. La dificultad de los cálculos depende solo de la complejidad del divisor, que es 17. Para extraer un resultado con cualquier grado de precisión necesario, solo es necesario continuar el cálculo hasta que se hayan emitido el número de dígitos requerido. Pero las operaciones en sí mismas están determinadas por el divisor.

Ahora tomemos $\frac3{\sqrt2}$ como ejemplo. Para calcular esto directamente, necesitamos evaluar:

$$1.4142\ldots \enclose{longdiv}{3.000\ldots} $$

lo cual es bastante oneroso. Usar un valor exacto para el divisor es imposible debido a la forma en que funciona el algoritmo, por lo que debes truncar el divisor. No está claro cuánto error se introducirá por esta truncación. Y si redondeas el divisor a $n$ dígitos de precisión, debes realizar muchas multiplicaciones y restas de números de $n$ dígitos.

En contraste, calcular $\frac{3\sqrt2}2$ es mucho más fácil. Primero calcula $3\times \sqrt2$ con una sola multiplicación, para obtener $4.242640\ldots$. (Si necesitas más dígitos más tarde, fácilmente puedes producirlos cuando los necesites.)

Luego realiza la siguiente división:

$$2 \enclose{longdiv}{4.242640\ldots} $$

lo cual solo requiere cálculos enteros triviales en todo momento.

Answer 4

La razón principal por la que supongo que nuestra cultura docente de matemáticas nos dice que debemos racionalizar el denominador es para que haya una nomenclatura universal entre los estudiantes sobre lo que significa una forma estándar. En la escuela, los profesores tienen muchas respuestas que revisar, por lo que si tienen que seguir viendo cosas como $\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $\sqrt{\frac{1}{3}}$ (solo como un ejemplo muy simple) dando vueltas, ralentiza un poco la revisión y, también, hasta cierto punto, resulta molesto.

Cosa histórica: antes de las calculadoras, tenías que hacer las cosas a mano (obvio). En este escenario, dividir $1$ entre $\sqrt{3}$ es mucho más difícil que dividir $\sqrt{3}$ entre $3$, por lo que racionalizar el denominador (en lugar de racionalizar el numerador) parece lógico.

Answer 5

Sumar dos fracciones con denominadores irracionales se ve como menos raíces.

Ver

$ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}} $

vs

$ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6} $