el máximo valor de $xy+yz+zx.$ $x+2y+z=4$

Question

si $x+2y+z=4$ $x,y,z$ número real. luego de encontrar el máximo valor de $xy+yz+zx$

poner a $x+z=4-2z$ $y(x+z)+zx = y(4-2z)+zx = 4y-2yz+zx$

yo wan,t ser capaz de ir más allá,alguien podría ayudarme con esto

Answer 1

Desde $z=4-x-2y$, $$\begin{align}xy+yz+zx&=xy+y(4-x-2y)+(4-x-2y)x\\&=xy+4y-xy-2y^2+4x-x^2-2xy\\&=-x^2+(4-2y)x-2y^2+4y\\&=-(x^2+(2y-4)x)-2y^2+4y\\&=-\left((x+y-2)^2-(y-2)^2\right)-2y^2+4y\\&=-(x+y-2)^2+(y-2)^2-2y^2+4y\\&=-(x+y-2)^2-y^2+4\\&\le 4\end{align}$$ La igualdad se alcanza cuando $x+y-2=y=0$, es decir,$x=2,y=0,z=2$.

Answer 2

$$xy+yz+zx+y^2 = (x+y)(y+z) \le \frac{(x+2y+z)^2}{4} = 4$$

$$\Rightarrow xy+yz+zx \le 4-y^2 \le 4$$

La igualdad se produce cuando $y=0$, $x=z=2$

Answer 3

$$xy+z(x+y)=xy+(4-x-2y)(x+y)=4x+4y-x^2-2y^2-2xy=k\text{(say)}$$

$$x^2+2x(y-2)+2y^2-4y-k=0$$

Como $x$ es real, el discriminante $$4(y-2)^2-4(2y^2-4y-k)\ge0$$

La igualdad ocurre si $x=-\dfrac{2(y-2)}2$

$$\iff k\le4-y^2\le4$$ La igualdad ocurre si $y^2=0$