$(a_n)$ está delimitado $\implies \sum a_n \frac{1}{n^2}$ converge

Question

Mostrar que si $(a_n)$ es un almacén de secuencia, entonces

$$\sum \frac{1}{n^2} a_n $$ converge

Lo único que podía demostrar que esta secuencia es acotado, pero no de su convergencia.

Gracias de antemano.

Answer 1

Dado que el $|a_n|\le M$, entonces podemos usar la prueba de comparación para mostrar que porque $$ \left|\,\frac{a_n}{n^2}\,\right|\le\frac M{n^2} $$ y que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ converge, también tenemos que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^2}$ converge absolutamente.

Answer 2

Con el fin de demostrar la convergencia es suficiente para mostrar que la secuencia de $\{S_M\}_{M\in\mathbb{N}^*}$ da por: $$ S_M = \sum_{n=1}^{M}\frac{a_n}{n^2}$$ es una secuencia de Cauchy. Desde entonces, asumiendo $M_1<M_2$: $$ S_{M_2}-S_{M_1} = \sum_{n=M_1+1}^{M_2}\frac{a_n}{n^2} $$ está delimitado en valor absoluto por: $$ \sup_{n\in\mathbb{N}^*} |a_n|\cdot\sum_{n=M_1+1}^{M_2}\frac{1}{n^2}\leq \sup_{n\in\mathbb{N}^*} |a_n|\cdot\int_{M_1}^{M_2}\frac{dx}{x^2}=\sup_{n\in\mathbb{N}^*} |a_n|\cdot\left(\frac{1}{M_1}-\frac{1}{M_2}\right)$$ la convergencia de la siguiente manera.

Answer 3

$$V \le a_k \le U\tag{k > 0}$$ $$\frac{1}{k^2}V \le \frac{1}{k^2}a_k \le \frac{1}{k^2}U$$ $$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2}V \le \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2}a_k \le \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2}U$$

$$\frac{\pi^2}{6}V \le \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2}a_k \le \frac{\pi^2}{6}U$$

Answer 4

Una forma más de: Dirichlet de la prueba, que utiliza la suma por partes. Ha $0<a_n <M$$\frac{1}{n^2} \to_n 0$, así que las condiciones son satisfechas, y la serie converge.

Answer 5

El uso de Dirichlet de la prueba, que dice: Si la suma parcial de la suma de series (a_n) es limitada y la secuencia (b_n) es una monótona sucesión convergente a cero, entonces la suma de series (a_n b_n) es convergente.

Aquí (1/n^2) es una monótona sucesión convergente a cero.

Sugerencia: 0< (1/n^2) < (1/n) y aplicar el teorema del sándwich para obtener el límite.