Es correcto considerar la asignación de un grupo fundamental de un espacio topológico es lo mismo que tener un functor de$\mathbf{Top}$$\mathbf{Grp}$? Hay otros ejemplos de tales functors ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Asignar el grupo fundamental de un espacio topológico es definitivamente un functor. Pero hay que tener en cuenta que un grupo fundamental es siempre tomado con respecto a un punto de base, y de ahí el functor asigna un par de $(X,x_0)$ que consta de un espacio topológico $X$ y un punto de $x_0\in X$ a su grupo fundamental de la $\pi_1(X,x_0)$. Como tal, el functor va de $\mathbf{Top}_\ast$$\mathbf{Grp}$.
En más detalle, el grupo fundamental de la $\pi_1(X,x_0)$ es el grupo de homotopy clases de los nudos inicial y final en el punto de base $x_0$. No es tan difícil mostrar que el mapa de $[\gamma]\mapsto[f\circ\gamma]$ es bien definidos para cada uno de los bucles $\gamma$ $x_0$ $x_0$y cada uno de los morfismos $f:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ de la categoría $\mathbf{Top}_\ast$; tomamos este mapa se $\pi_1(f)$. A grandes rasgos, esta es una definición que después de la composición, por lo que es inmediato que este functor respeta la identidad de morfismos y composiciones.
Este es un lado de la observación, debido a que han estado preguntando por el grupo fundamental de forma explícita. Pero creo que es en este lugar porque es natural considerar un functor con el dominio $\mathbf{Top}$ que es "como tomar el grupo fundamental'.
En lugar de $\mathbf{Top}_\ast\to\mathbf{Grp}$, también se podría trabajar con un functor $\mathbf{Top}\to\mathbf{Grpd}$, donde la categoría de $\mathbf{Grpd}$ es la categoría de groupoids (categorías en las que todos los morfismos son isomorphisms). El functor envía un espacio topológico $X$ a la groupoid que tiene los puntos de $X$ como objetos y entre los dos puntos de $x$ $y$ $X$ los morfismos son las homotopy clases de caminos de$x$$y$. Esto le da la fundamental groupoid más que el grupo fundamental.
La n-lab tiene más información sobre la fundamental groupoid.
Hay muchos más ejemplos de functors de $\mathbf{Top}$ o categorías relacionadas. Una importante es la singular functor a la categoría de $\mathbf{Sset}$ de simplicial conjuntos. La categoría si simplicial de conjuntos se define como sigue: en primer lugar, considerar la categoría de $\Delta$ consiste de un objeto $[n]$ para cada número natural $n$ donde $[n]$ es el parcial conjunto ordenado $\{0,\ldots,n\}$ con el orden usual; los morfismos son el fin de la preservación de los mapas. A continuación, $\mathbf{Sset}$ es la categoría de contravariante functors de$\Delta$$\mathbf{Set}$.
Para cada número natural $n$, no es el espacio topológico $$ |\Delta^n|:=\big\{(t_0,\ldots,t_n)\in[0,1]^{n+1}:\estilo de texto\sum_{i=0}^n t_i=1\big\}, $$ que se llama el estándar de $n$-simplex. Para poner a prueba su comprensión de estas definiciones, se puede mostrar que el mapa de $[n]\mapsto|\Delta^n|$ es un functor de$\Delta$$\mathbf{Top}$. Ahora podemos definir el functor $S:\mathbf{Top}\to\mathbf{Sset}$, lo que se llama la singular functor, asignando a cada espacio topológico $X$ el functor $$ n\mapsto\mathbf{Top}(|\Delta^n|,X) $$ Resulta que el simplicial conjuntos de $S(X)$ tienen muy agradable propiedades. Uno de ellos es que realmente se $\infty$-groupoids. También, el conjunto de $\mathbf{Top}(|\Delta^n|,X)$ se utiliza para definir el $n$-ésimo grupo de homología de $X$, lo que se te da otro functor de la categoría de espacios topológicos. Todos estos functors han sido (y son) muy importante para la investigación de los espacios topológicos.
Ben Millwood
Puntos
8924
Tipo de. Técnicamente, un grupo fundamental es asignado a una punta topológica del espacio, que es un espacio topológico con un distinguido punto (el punto de referencia de su bucles). La categoría de estos espacios se denota $\textbf{Top}_\ast$, y para hacer un functor de allí a $\textbf{Grp}$, no sólo se necesita asignar un grupo a cada espacio (es decir, el grupo fundamental), sino también asignar a cada uno de morfismos en $\textbf{Top}_\ast$ un morfismos en $\textbf{Grp}$, en una manera que es compatible con la composición de morfismos y envía la identidad a la identidad.
En este contexto, esto significa que la asignación a cada mapa continuo $f$ que conserva basepoints (es decir, mapas el punto de base de un espacio para el punto de referencia del otro) un homomorphism $f_*$ de la correspondiente fundamentales de los grupos, de tal manera que $\operatorname{id}_* = \operatorname{id}$$(f\circ g)_* = f_* \circ g_*$. Podemos hacer esto diciendo, si $[u]$ es el homotopy clase de la ruta de $[u]$,$f_*[u] = [f\circ u]$. Por lo tanto podemos definir un functor utilizando el grupo fundamental.
La homología de grupos también son functors, esta vez de triangulable espacios topológicos (señaló que no!) a abelian grupos (modulo algunas complicaciones; ver los comentarios).
