Esta pregunta implica el Triángulo de Pascal Y Teorema del Binomio. Pregunta Completa

Question

Podría alguien por favor me ayuda en el siguiente problema:

1. Factorizar la expresión $P(n)=n^x-n$ $x=2,3,4,5$ Determinar si la expresión es siempre divisible por el correspondiente $x$. Si divisible use inducción matemática para demostrar los resultados por muestra si $P(k+1)-P(k)$ es siempre divisible por $x$. Utilizando la tecnología apropiada, a explorar los más de los casos, un resumen de sus resultados y hacer una conjetura para al $n^x-n $es divisible por$ x$. (No divisible por$\ 4$. Por lo tanto llegué a la conclusión de que $x$ es primo.)

2.Se explica cómo obtener las entradas en el Triángulo de Pascal, y el uso apropiado de la tecnología, generar las primeras 15 filas. Estado de la relación entre la expresión de $P(k+1)-P(k)$ y el Triángulo de Pascal. Reconsiderar su conjetura y revisar si es necesario. (Aquí, mi anterior conjetura apareció incorrecta, debido a que $x$=números primos no funciona para el 11 y el 13 del Triángulo).

Y en esta parte me estoy experimentando un poco de problemas como estoy diciendo que $x=2,3,5,7$. Pero esto no funciona para todos los $r$...decidí que $k$ es un múltiplo de a $x$ al $x=2, 3, 5, 7, 9$. Sin embargo, $r$ es diferente para cada una de las $x$ ...

Escriba una expresión para el número de fila del Triángulo de Pascal. Se han dado cuenta de que (a$x$ elegir $r)=k$, $k$ es $N$. Determinar cuándo $k$ es un múltiplo de a $x$.

1. sacar conclusiones en cuanto al último resultado en la parte 2 y la forma de la prueba por inducción se utiliza i nesta asignación. Refine su conjetura, si es necesario, y lo demuestran.

Creo que no estoy recibiendo este correctamente, la ayuda es muy apreciada!

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Esto no es un análisis completo ...

Si $x$ es el primer y $0<r<x$ $\binom x r$ es divisible por $x$.

Si $p$ es un primer factor de $x$ $\binom x p$ no es divisible por $x$ - hay un factor de $p$ que cancela el trabajo.

Answer 2

La primera pregunta que también conduce a cosas interesantes. Como conjetura, si $x$ es primo, entonces $n^x-n$ es divisible por $x$. Esta es una versión de Fermat (poco) Teorema.

Sin embargo, de saber que $n^x-n$ es siempre divisible por $x$, no podemos concluir que el $x$ es primo. De curso $n^1-n$ es siempre divisible por $1$. Que es poco interesante. Pero, por ejemplo, $n^{561}-n$ es siempre divisible por $561$, e $561=3\cdot 11\cdot 17$. Para obtener más información, usted puede ser que desee ver en el artículo de Wikipedia sobre los números de Carmichael.