El cálculo de (co)de los límites de los anillos de los espacios en $\mathbf{Top}$

Question

Deje $\mathbf{Top}$ ser la categoría de espacios topológicos, $\mathbf{RS}$ la categoría de anillos de espacios y $\mathbf{LRS}$ la categoría de local rodeada de espacios.

Hay olvidadizo functors $$ U_{\mathbf{CP}}: \mathbf{CP} \\mathbf{RS} $$ (la inclusión de la (no completo) subcategoría) y $$ U_{\mathbf{RS}}: \mathbf{RS} \\mathbf{Top} $$ (olvidando la estructura de la gavilla). Las tres categorías tienen todos los (pequeños) límites y colimits.

• Se $U_{\mathbf{LRS}}$ $U_{\mathbf{RS}}$ (a la derecha?) adjunto functors?
• Do $U_{\mathbf{LRS}}$ $U_{\mathbf{RS}}$ perserve pushouts?

Estoy interesado en estas cuestiones porque puedo pensar más fácil de espacios topológicos que de los anillos (o localmente anillado) espacios. Por ejemplo, cuando yo intuitivamente quiere ver lo que el pushout de dos (localmente) rodeada de espacios es, quiero ver primero lo que sucede en espacios topológicos y después pensar en lo que está pasando con la estructura de las poleas. ¿Puedo hacer esto?

Answer 1

• El olvidadizo functor $\mathsf{LRS} \to \mathsf{RS}$ tiene un derecho adjuntos. El derecho adjoint "$\mathrm{Spec}$" es un lugar directo de la generalización del espectro de un anillo conmutativo. Usted puede encontrar la construcción en W. D. Gillam la Localización de los anillos de los espacios, por ejemplo. El conjunto subyacente de $\mathrm{Spec}(X,\mathcal{O}_X)$ se compone de todos los pares $(x,\mathfrak{p})$ donde $x$ es un punto en $X$ $\mathfrak{p}$ es un primer ideal de $\mathcal{O}_{X,x}$. La estructura de la gavilla se define de tal manera que el tallo en $(x,\mathfrak{p})$ es el local anillo de $(\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}$.

• Como corolario, $\mathsf{LRS} \to \mathsf{RS}$ conserva todos colimits. Pero esto también viene de la construcción de colimits localmente anillado de espacios, que se puede encontrar en Demazure-Gabriel Groupes algébriques, I. §1. 1.6.

• El olvidadizo functor $\mathsf{LRS} \to \mathsf{RS}$ no tiene a la izquierda adjunto, ya que no conserva los límites. Por ejemplo, $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ es el terminal objeto de $\mathsf{LRS}$, pero $(\{\star\},\underline{\mathbb{Z}})$ es el terminal objeto de $\mathsf{RS}$. Para una descripción de los límites en $\mathsf{LRS}$, ver Gillam del papel por encima.

• El olvidadizo functor $\mathsf{RS} \to \mathsf{Top}$ tiene un derecho adjoint que los mapas de $X$$(X,\underline{\mathbb{Z}})$.

• De ello se desprende que $\mathsf{RS} \to \mathsf{Top}$ conserva colimits. Específicamente, el colimit de un diagrama de $((X_i,\mathcal{O}_i))_{i \in I}$ de los anillos de los espacios es $(\mathrm{colim}_i X_i,\lim_i (u_i)_* \mathcal{O}_i)$ donde $(u_i : X_i \to \mathrm{colim}_i X_i)$ es el colimit cono de los espacios topológicos.

• El olvidadizo functor $\mathsf{RS} \to \mathsf{Top}$ ha dejado adjunto, el cual se asigna a$X$$(X,0)$.

• De ello se desprende que $\mathsf{RS} \to \mathsf{Top}$ preserva límites. Específicamente, el límite de un diagrama de $((X_i,\mathcal{O}_i))_{i \in I}$ de los anillos de los espacios es $(\lim_i X_i,\mathrm{colim}_i (u_i)^{-1} \mathcal{O}_i)$ donde $(u_i : \lim_i X_i \to X_i)$ es el límite del cono de los espacios topológicos.