La elección de una secuencia de Cauchy para una real

Question

Es fácil formar en ZF, para cada real de a $a$, un "canónica" de Cauchy secuencia que converge a $a$. Por ejemplo, uno puede tomar la secuencia finita de segmentos inicial de la expansión decimal de $a$, siendo cuidadoso al $a$ es un base-10 racional para elegir una de las dos expansiones decimales de forma explícita.

Pero lo que si se nos da un conjunto de secuencias de Cauchy de racionales, todos convergen a la misma real. El conjunto puede no contener todas las secuencias de Cauchy para que real. ¿Qué tan difícil es elegir un "canónica" representante de las secuencias que se encuentran en el set?

Para hacer esta pregunta precisa: considerar una familia de conjuntos de $C$, de modo que cada una de las $X \in C$ es un conjunto de secuencias de Cauchy racionales que todas convergen en el mismo real $a(X)$. Tenga en cuenta que $X$ no es necesario tener el conjunto completo de secuencias de Cauchy para $a(X)$. ¿ZF demostrar la existencia de una función de elección para cada familia $C$ de este tipo?

Hay dos aspectos de Cauchy secuencias que hacen que este problema sea interesante. En primer lugar, cada infinita larga de una secuencia de Cauchy es de nuevo una secuencia de Cauchy coverging a la misma real. Así que no podemos esperar que un "mínimo" de la secuencia. También, se puede anteponer a cualquier secuencia finita de una secuencia de Cauchy para producir una nueva secuencia de Cauchy converge hacia la misma real. Así que no podemos esperar una "máxima" de la secuencia. Cauchy secuencias son muy resbaladizas de esta manera.

Dedekind cortes se comportan de manera diferente: una vez que especificar si los recortes racionales pueden tener un máximo de elemento, tenemos un único Dedekind corte para cada real, mientras que siempre tenemos infinidad de secuencias de Cauchy.

Tengo un vago recuerdo de encontrar algo similar a esta pregunta en el pasado, pero no puedo recordar ningún detalle.

Answer 1

Tal elección mecanismo podría traducirse en una elección canónica de una función $\Bbb N \to \Bbb N_{>0}$ a partir de un conjunto dado $S$ de tales funciones. Si no me equivoco, esto es algo trivial principio de elección (y si lo estoy, por favor me corrija).

Dado $f: \Bbb N \to \Bbb N_{>0}$, definir: $$b_f (n) = \begin{cases}2^{-k} &: n = \sum\limits_{i=0}^k f(i) \\0&: \text{otherwise}\end{cases}$$

Ahora defina $s_f(n) = \sum\limits_{i=0}^n b_f(i)$. A continuación, para todos $f$: $$\lim_{n\to\infty} s_f(n) = 2$$ y $f \leftrightarrow s_f$ es un bijective correspondencia. Por lo tanto, una función de elección para cada conjunto $\{s_f: f \in S\}$ equivale a una función de elección para cada una de las $S \subseteq (\Bbb N_{>0})^{\Bbb N}$.

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Por definición, para $f: \Bbb N \to 2$: $$b_f(n) = \begin{cases}2^{-k} &: n = k + \sum\limits_{i=0}^k f(i) \\0&: \text{otherwise}\end{cases}$$ the argument seems to carry over to $2^{\Bbb, N}$.

Answer 2

Permítanme tomar Lord_Farin la respuesta, y poner todo el camino a $2^{\aleph_0}$.

Supongo que podríamos haber elegido desde cualquier familia de secuencias de Cauchy. Corrección para cada número real de un canónica de Cauchy secuencia de racionales $r_n$ que es estrictamente creciente. Evidentemente, esto es factible, sin elección.

Ahora supongamos que $A_r\subseteq 2^\omega\setminus 2^{<\omega}$ no está vacía para cada una de las $r\in\Bbb R$, entonces considere el $C_r=\{\langle r_n\mid a_n\neq 0\rangle\mid\langle a_n\rangle\in A_r\}$. Es decir, podemos codificar cada una de las $a\in A_r$ como una larga de $r_n$, con la suposición de que $a$ no es, finalmente,$0$.

Por la suposición de que habrá una elección de cada una de las $C_r$, y, a continuación, fácilmente podemos decodificar esta en una selección de $A_r$. Así hemos demostrado que el axioma de elección para las familias de tamaño $\leq2^{\aleph_0}$ de los conjuntos de reales. Y, por supuesto, no podemos probar opción para los contables de las familias de los conjuntos de reales en $\sf ZF$ sí.