¿Cómo puedo pasar de esto $\frac{x^2-3}{x^2+1}$ a $1-\frac{4}{x^2+1}$ ?

Question

Así que estoy haciendo $\int\frac{x^2-3}{x^2+1}dx$ y en wolfram alpha dice que el primer paso es hacer una "división larga" y va desde $\frac{x^2-3}{x^2+1}$ a $1-\frac{4}{x^2+1}$ . Eso facilitó mucho la integralidad, así que ¿cómo haría para hacerlo de manera clara? ¡Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Una pista:

$$\frac{x^{2}-3}{x^{2}+1}=\frac{(x^{2}+1)-4}{x^{2}+1}$$

Answer 2

Intenta abordar esto haciendo un problema similar, es decir

Answer 3

En este caso concreto

$$\frac{x^2-3}{x^2+1}=\frac{x^2+1-1-3}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{4}{x^2+1}=1-\frac{4}{x^2+1}$$

Answer 4

Fíjate en eso: $$ \frac{x^2 - 3}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 + 1) - 4}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{4}{x^2 + 1} = 1 - \frac{4}{x^2 + 1} $$ Lo difícil es el primer paso. Básicamente, queremos que el denominador aparezca en el numerador de alguna manera para que se cancelen bien. Así que aplicamos la ilusión y tratamos de forzar el denominador para que aparezca de alguna manera por cualquier medio.

Answer 5

$$ \begin{array}{ccccccccc} & & 1 \\ \\ x^2 + 1 & ) & x^2 & - & 3 \\ & & x^2 & + & 1 \\ \\ & & & & -4 & \longleftarrow\text{remainder} \end{array} $$ El cociente es $1$ y el resto es $-4$ .

Así que $\displaystyle \frac{x^2-3}{x^2+1} = 1 - \frac{4}{x^2+1}$