Fracciones continuas ascendentes

Question

¿Alguien ha visto "fracciones continuadas al alza", como $$ \frac{1+\large{\frac{1+\large{\frac{1+...}{a_2}}}{a_1}}}{a_0} \quad? $$

Se pueden formar, para cualquier número real $x$ con $0<x\le 1$ definiendo $x_0:=x$ e inductivamente $$ a_n:=\lfloor{x_n}\rfloor+1\qquad\text{and}\qquad x_{n+1}:=a_nx_n-1. $$ Es fácil comprobar que $1\le a_1\le a_2\le a_3\le\dots$ y que la secuencia de $a_i$ es finalmente constante si y sólo si $x$ es racional. Este procedimiento da lugar a expresiones como la mostrada anteriormente, ya que $$ x = \frac{1+x_1}{a_0}=\frac{1+\large{\frac{1+x_2}{a_1}}}{a_0} =\frac{1+\large{\frac{1+\Large{\frac{1+x_3}{a_2}}}{a_1}}}{a_0} = \cdots $$ Los he buscado en google, wikipedia y textos estándar como el de Perron, pero no los he encontrado. ¿Se han estudiado? Lo pregunto porque un estudiante de secundaria las ha inventado hoy ante mis ojos, y me gustaría contarle lo que ha redescubierto (suponiendo que de hecho se hayan estudiado antes).

Answer 1

Ampliando mis comentarios en una respuesta: distribuyendo las divisiones por $a_0$ , $a_1$ , $\ldots$ sucesivamente se puede reescribir dicha fracción continua ascendente en la forma equivalente $\frac1{a_0}+\frac1{a_0a_1}+\frac1{a_0a_1a_2}+\cdots$ . Esto se conoce como el _Ampliación de Engel_ del número, y sus coeficientes tienen algunas propiedades limitantes interesantes (en particular, para casi todos los números reales los coeficientes crecen exponencialmente); el artículo de Wikipedia sobre ellos debería ofrecer varias buenas indicaciones para obtener más información.

Answer 2

Hace cinco años, más o menos, trabajé en algunas fracciones continuas "tipo árbol"... $$ T = 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{1+\cdots\;}{2+\cdots\;} }{\displaystyle 2+\frac{2+\cdots\;}{4+\cdots\;} } }{\displaystyle 2+\frac{\displaystyle 2+\frac{2+\cdots\;}{4+\cdots\;} }{\displaystyle 4+\frac{4+\cdots\;}{8+\cdots\;} } } }{\displaystyle 2+\frac{\displaystyle 2+\frac{\displaystyle 2+\frac{2+\cdots\;}{4+\cdots\;} }{\displaystyle 4+\frac{4+\cdots\;}{8+\cdots\;} } }{\displaystyle 4+\frac{\displaystyle 4+\frac{4+\cdots\;}{8+\cdots\;} }{\displaystyle 8+\frac{8+\cdots\;}{16+\cdots\;} } } } \;. $$

Pero nunca llegó muy lejos. Presenté uno de estos como un problema... Matemáticas. Mag. 79 (2006) p.151

Answer 3

Puede encontrar mucha información sobre esas fracciones continuas especiales en el siguiente enlace (American Mathematical Monthly):

https://www.facebook.com/AmerMathMonthly/photos/a.250425975006394.53155.241224542593204/1055084257873891/?type=3&theater

También en: https://youtu.be/mjSHenvXsEs