A continuación se muestra un ejercicio de los exámenes de calificación del Estado de Iowa en el análisis, y una solución que he cocinado para ello. Se lo enseñé a un amigo, y parece muy descontento con el final de la prueba, aunque yo no veo nada malo en ella. ¿A alguien le importaría indicarme si hay algún problema? Se agradece cualquier ayuda.
Supongamos que $\{E_n\}$ es una secuencia de subconjuntos medibles de Lebesgue de $\mathbb{R}$ con $$ \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)<\infty $$ Sea $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n\cap [0,x])$ . Demostrar que $f$ es absolutamente continua en $[0,\infty)$
Tenemos que demostrar lo siguiente: dado $\epsilon>0$ existe alguna $\delta > 0$ para que $$ \sum_{k=1}^{N} |f(b_k) - f(a_k) | < \epsilon \quad \text{ whenever } \sum_{k=1}^{N} (b_k-a_k) < \delta $$ y los intervalos $(a_k,b_k)$ forman una partición de $[0,\infty)$ en intervalos disjuntos. Por supuesto, existe un $n_0 \geq 1$ tal que $\sum_{n \geq n_0} \mu(E_n) < \epsilon/2$ . Sea $x,y \in [0,\infty)$ sea tal que $x<y$ . Por monotonicidad de la medida de Lebesgue, tenemos que $$ |f(y) - f(x)| = \left| \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n \cap [0,y]) - \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n \cap [0,x] )\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} |\mu(E_n \cap [0,y]) - \mu(E_n \cap [0,x])| $$ Para cada $ n \geq 1$ , $E_n \cap [0,x] \subset E_n \cap [0,y]$ cada una de las cuales tiene medida finita, y así $$ \mu(E_n \cap [0,y]) - \mu(E_n \cap [0,x]) = \mu ((E_n \cap [0,y]) \setminus (E_n \cap [0,x])) = \mu(E_n \cap [x,y]), $$ para cada $ n \geq 1$ en consecuencia, tenemos que $$ |f(y) - f(x)| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n \cap [x,y]). $$ Elija $\delta = \epsilon/2n_{0}$ . Por monotonicidad de la medida de Lebesgue, vemos que $$ |f(y) - f(x)| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n \cap [x,y] \leq \sum_{n=1}^{n_0-1} \mu(E_n \cap [x,y] + \sum_{n \geq n_0} \mu(E_n) < \mu(E_n \cap [x,y] + \epsilon/2. $$ Por último, dada cualquier partición $\{x_k,y_k)\}_{k=1^K}$ de $[0,\infty)$ en intervalos disjuntos por pares con $\sum_{k=1}^{K} (y_k-x_k )< \delta$ . De ello se deduce que $$ | f(y_k) - f(x_k)| < \sum_{n=1}^{n_0-1} \mu(E_n \cap [x_k,y_k]) + \epsilon/2 \leq \sum_{n=1}^{n_0-1}( y_k-x_k )< \epsilon. $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^{K} |f(y_k) - f(x_k)| < K \cdot \epsilon, $$ completando la prueba.
