Espectáculo $f_n = f \circ f \circ \dots \circ f \longrightarrow 0$ uniformemente en compactos de conjuntos

Question

Estoy en busca de ayuda en un análisis complejo examen de calificación problema.

Deje $D$ ser un almacén abierto conectado subconjunto de $\mathbf{C}$ contiene $0$ y deje $f \colon D \to D$ ser una analítica de la función de la satisfacción de $f(0) = 0$$\left| f^\prime \right|(0) < 1$. Definir $f_n = f \circ f \circ \dots \circ f$ ($n$ veces). Demostrar que $f_n \longrightarrow 0$ uniformemente en compactos de conjuntos.

La sugerencia es comenzar a nivel local en torno a cero. Yo era capaz de demostrar que existe un entorno $U$ contenida en el radio de convergencia de $f$ $0$ tal que $f_n \longrightarrow 0$ uniformemente en compactos de conjuntos contenidos en $U$. Tomo nota de que la prueba no uso el acotamiento de $D$.

Estoy teniendo problemas para extender el resultado a la totalidad de $D$. Tal vez se supone que debo aprovechar la conexión de la $D$, teniendo en cuenta algo como $E = \left\{ z \in D \colon \text{ the result is true locally around } z \right\}$ y mostrando este conjunto es abierto y cerrado. Si esto es cierto, entonces para cualquier subconjunto compacto de $D$ que puede tomar un número finito de la cubierta de la aplicación de la local de resultado y hacer con ella. Es obvio que $E$ está abierto, pero estoy teniendo problemas para mostrar que está cerrado.

No tengo una idea de donde el acotamiento de $D$ entra en juego...

Muchas gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Asumir hemos demostrado que existe $U \ni 0$ abierto en el que $f_n \longrightarrow 0$ uniformemente en compactos de conjuntos. (Esto no es demasiado difícil. Empezar con $U$ lo suficientemente pequeño como para que el poder de la serie para $f$ $0$ converge en $U$. Luego, por supuesto, para $z \in U$ hemos $$ \left| f(z) \right| = \left|z\right| \left| f^\prime(0) + c_2 z + \dots \right|. $$ Since $f^\prime(0) < 1$, upon shrinking $U$ further, by continuity there exists $\alpha < 1$ such that $$ \left| f(z) \right| < \alpha |z|. $$ If $K \subconjunto de U$ is compact, then $$ \left| f_n(z) \right| \leq \alpha^n \sup_{w \in K} \left| w \right| \longrightarrow 0.)$$

Ahora, desde la $D$ es limitado y $f$ mapas en $D$, $f_n(z)$ es uniformemente acotada, por lo tanto, por el Arzelà-Ascoli teorema para funciones analíticas (es decir, el teorema de Montel) hay una larga $f_{n_k}$ que converge uniformemente en compactos de los conjuntos de algunas analítica de la función $f$. En particular, desde la $f_n \longrightarrow 0$ en $U$, $f(U) = 0$, por lo tanto $f = 0$.

Fix $\epsilon > 0$ y deje $K$ ser un subconjunto compacto de $D$. Por lo que se mostró, no existe $N$ tal que $\left| f_N(K) \right| \leq \epsilon$. Tome $\epsilon$ lo suficientemente pequeño para que $K^\prime \subset U$ donde $K^\prime = f_N(K)$. Desde $f_n \longrightarrow 0$ uniformemente en $K^\prime$, tome $M$, de modo que para todos los $n \geq M$, $\left| f_M(K^\prime) \right| \leq \epsilon$. Pero $f_M \circ f_N = f_{N + M}$, por lo tanto para todos los $n \geq N + M$ llegamos a la conclusión de $$ \left| f_n(K) \right| \leq \epsilon. $$