Matemáticamente, ¿qué son los números aleatorios?

Question

Un tema de las matemáticas y la informática que siempre me confundió fueron los números aleatorios. He intentado buscar el significado exacto, pero me parece algo abstracto e incompleto.

Matemáticamente, los números aleatorios se definen como

Los números aleatorios son números que aparecen en una secuencia tal que se cumplen dos condiciones: (1) los valores se distribuyen uniformemente en un intervalo o conjunto definido, y (2) es imposible predecir los valores futuros basándose en los pasados o presentes.

No tengo ningún problema con el segundo punto, pero el primero me parece un poco abstracto porque no podemos especificar el intervalo o conjunto definido. No sólo eso, sino que si todos los valores se distribuyen por igual, ya no es verdaderamente aleatorio.

Supongamos que un generador de números aleatorios verdadero (que genera números entre el 1 y el 9) genera 100 números sin ningún 9. En este caso podemos decir que la probabilidad de que aparezca un 9 es alta en los siguientes 10 números. Pero si la probabilidad es alta, ¿cómo es que los números son realmente aleatorios?

Suponiendo también que un verdadero generador de números aleatorios (que genera números entre el 1 y el 9) genera 1 millón de 3s consecutivos. ¿Es esto aleatorio? La mayoría de la gente dirá que probablemente no, pero ¿qué pasaría si ese mismo generador generara más de 100 millones de números y encontrara una distribución uniforme entre los números entre el 1 y el 9? Este cómic ilustra este punto.

Para mí el primer punto no tiene sentido, ya que no podemos definir un intervalo o conjunto. Esto significa básicamente que para números verdaderamente aleatorios la probabilidad de 1 millón de 3 consecutivos es tan probable como una distribución igual de números.

Supongo que en el mundo real se definirían los números como aleatorios sólo mientras no se pueda encontrar una secuencia que diga cuál será el siguiente número. Muchos artículos dicen que los dígitos dentro de los números irracionales (√2, pi) pueden ser tratados como aleatorios. En mi opinión, sólo se tratan como aleatorios mientras no conozcamos la secuencia correcta. Eso significa esencialmente que ningún número es verdaderamente aleatorio, simplemente no conocemos su secuencia.

TLDR ¿Cómo define el mundo matemático los números aleatorios?

Answer 1

Vale, tu problema con el primer punto es tu interpretación errónea del mismo. Según veo, significa que si tomas un número fijo de resultados, la probabilidad de cada resultado es igual, es decir, si generas 100 números aleatorios verdaderos del 0 al 9, hay 10 0, 10 1 y 10 de cada uno (los valores están distribuidos uniformemente en un intervalo o conjunto definido). Esta probabilidad nunca cambia, por lo que tu opinión de que podría no dar ningún 9 en los primeros 100 resultados es, según yo, errónea. Incluso si suponemos que no hay 9's en los primeros 100 resultados (suposición, así que sólo suponer.) entonces no se puede decir lo que sucederá en la próxima generación, ya que al menos debe seguir el punto 2 según usted. En el mundo real no hay nada tan aleatorio, pero cualquier cosa que sea demasiado complicada o difícil de establecer una serie se suele denominar aleatoria. En el estudio matemático de la probabilidad suponemos una verdadera aleatoriedad, sin embargo no hay nada como tal. Existe el efecto mariposa, por el que incluso si una mariposa aleteara en otra dirección, se produciría una tormenta. Así que cada cosa menor cuenta, incluso el aire que está a un kilómetro de distancia del lugar donde se lanza la moneda, por lo que no se pueden hacer predicciones precisas. Si nos dieran un ordenador divino (infinitamente poderoso) que pudiera calcular eso, podríamos predecir el futuro. Pero hay algo más, incluso si se toman variables del mundo real y se repite el experimento muchas veces (digamos n veces), entonces se encuentra la probabilidad de un evento, se obtiene que se acerca a la probabilidad de la variable aleatoria verdadera cuando n tiende a infinito, es decir $n\to\infty$ . Puedes buscar un ejemplo de cálculo de probabilidades que acabo de hacer con el ordenador (sí, los ordenadores no son verdaderamente aleatorios) para el problema de Coupon Collector y lo he repetido un montón de veces (sí, los ordenadores son rápidos) y he obtenido 14,6999 más o menos, que en realidad es 14,7. Piensa si lo repetimos muchas más veces? (infinitas de hecho para ser exactos, tal vez ya que discutible) Hay muchos otros ejemplos de tales cálculos que usted puede encontrar fácilmente.

Creo que eso explica mi opinión sobre al azar a todos. :D