¿Cómo se ve este espacio factor$\mathcal P/ \mathcal C$?

Question

Deje $\mathcal P$ ser el álgebra asociativa consiste reales de polinomios en la variable $x$. Set $\mathcal C$ a ser el ideal de la $\mathcal P $ generado por $x^2+1 $.

¿Por qué $\mathcal C$ consta de polinomios de la forma $f(x)(x^2+1)g(x)$? (Y se $f,g$ $\mathcal C$ o $\mathcal P$?)

Me gustaría indicar $\mathcal C $$\mathbb R[x^2+1]$, el álgebra de los polinomios en la variable $x^2+1$.

Me gustaría la denotar el factor espacio de $\mathcal P/\mathcal C$$\mathbb R[x]/\mathbb R[x^2+1]$, todos los polinomios $p$ satisfacción $\frac{\partial p}{\partial (x^2+1)}=0$.

Suplemento.

Poner $\mathcal F = \mathbb R[x]/(x^2+1)\mathbb R[x] $. Nos muestran que los elementos de la $\mathcal F$ son de la forma $p+ (x^2+1)\mathbb R[x] \ ( \mathrm{deg}(p)\leq 1)$.

Considere la posibilidad de un polinomio arbitrario $$f = a_n x^n +\ldots+ a_0 \in \mathbb R[x].$$ Writing $$f = a_nx^{n-2}(x^2 +1-1) + a_{n-1}x^{n-3}(x^2 +1-1) + \ldots ,$$ we see that in $\mathcal F$ the polynomial $f$ has degree less then or equal to $1$.

Answer 1

$\mathcal{C}$ se compone de los polinomios de la forma $(x^2+1)f(x)$ donde $f(x)$ es otro polinomio. (No es necesario tanto $f(x)$ $g(x)$ en lo que escribió: ya que la multiplicación es conmutativa aquí, usted puede poner en el mismo lado y se multiplican en un único polinomio $h(x)$.)

Para cualquier anillo conmutativo $R$ y el elemento $a\in R$, la $aR=\{ar\mid r\in R\}$ es el más pequeño de dos caras ideal que contiene a $a$.

El ideal de $\langle x^2+1 \rangle\lhd \Bbb R[x]$ es no lo mismo como el álgebra de polinomios en la variable $x^2+1$. Por ejemplo, $1+(x^2+1)$ es un polinomio, pero no en el ideal generado por a $x^2+1$.

La descripción del uso de las derivadas parciales no es también correcta. Si la derivada de $p$ con respecto al $x^+1$ es cero, $p$ sólo se diferencia de $x^2+1$ por una constante. Mod $(x^2+1)$ estos elementos forman una clase de equivalencia en el cociente, pero aún hay otros que no solo son constantes, es decir,$x+(x^2+1)$.

Parece que podría ser un poco apagado en su imagen de como cociente de los anillos de trabajo. Si es así, usted podría considerar la posibilidad de lectura de preguntas sobre el cociente de los anillos de aquí, tal vez comenzando con este: Cálculos en el cociente de los anillos.

La notación ordinaria para el cociente anillo se $\Bbb R[x]/(x^2+1)$ o $\Bbb R[x]/\langle x^2+1\rangle$, o incluso el $\Bbb R[x]/(x^2+1)\Bbb R[x]$. Es cierto que $\Bbb R[x^2+1]$ es un perfectamente bien la notación para el polinomio anillo donde se $x^2+1$ es la variable, pero como hemos descubierto, no es la misma cosa que el ideal generado por a $x^2+1$.