Convergencia del operador

Question

Me gustaría saber cómo resolver el siguiente problema (ya que no he conseguido resolverlo en el examen de hoy):

Dejemos que $A_h:L^1(a,b)\to L^1(a,b)$ se definan: $$A_h f(x)=\frac{1}{h}\int_x^{x+h} g(t) dt,$$ donde $g(t)=f(t)$ para $t\in(a,b)$ y $g(t)=0$ de lo contrario, para $0<h<\frac{b-a}{4}$ .

Encuentre $\|A_h\|$ . Hace $A_h$ convergen uniformemente, fuerte o débilmente, cuando $h\to 0+$ ?

Cualquier pista es bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es demasiado largo para un comentario, así que lo publicaré aquí como respuesta. Sólo voy a dar aquí algunas ideas y tal vez usted puede terminarlo. Utilizaré la notación $\tilde{f}$ (en lugar de su notación $g$ ), para la ampliación de $f$ que es cero en el exterior $(a,b)$ . Con respecto a la norma, observe que

\begin{eqnarray} \|A_hf\| &=& \int_a^b\left|\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}\tilde{f}(t)dt\right|dx \nonumber \\ &\le& \int_a^b\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}|\tilde{f}(t)|dtdx \nonumber \\ &=& \frac{1}{h}\int_0^h\int_a^b|\tilde{f}(x+t)|dxdt \\ &\le & \|f\|, \forall\ f\in L^1. \end{eqnarray}

Con respecto a la convergencia, puedo demostrarla al menos con fuerza. En efecto, primero hay que suponer que $f$ es continua en $[a,b]$ . Para cualquier $\epsilon>0$ , elija $h>0$ tal que $|\tilde{f}(t)-f(x)|\le \epsilon/(b-a)$ para $t\in (x,x+h)$ y $x\in (a,b)$ . Tenga en cuenta que

\begin{eqnarray} \|A_h f-f\| &=& \int_a^b \left|\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\tilde{f}(t)dt-f(x)\right|dx \nonumber \\ &\le& \frac{1}{h}\int_a^b\int_x^{x+h}|\tilde{f}(t)-f(x)|dtdx \nonumber \\ &\le& \epsilon. \tag{1} \end{eqnarray}

Ahora, teniendo en cuenta $\epsilon>0$ , toma $f\in L^1$ y elija $g\in C([a,b])$ con $\|f-g\|\le \epsilon$ . Primero observe que

\begin{eqnarray} \|A_h f-A_h g\| &\le& \frac{1}{h}\int_a^b\int_x^{x+h}|\tilde{f}(t)-\tilde{g}(t)|dtdx \nonumber \\ &=& \frac{1}{h}\int_0^h\int_a^b |\tilde{f}(x+t)-\tilde{g}(x+t)|dxdt \nonumber \\ &\le& \|f-g\|(b-a) \tag{2} \end{eqnarray}

Combinamos $(1)$ y $(2)$ para concluir que para las pequeñas $h$ ,

\begin{eqnarray} \|A_h f-f\| &\le& \|A_h f-A_h g\|+\|A_h g-g\|+\|g-f\| \nonumber \\ &\le& \epsilon (b-a)+\epsilon +\epsilon \nonumber \\ &=& \epsilon (b-a+2) \end{eqnarray}

Cabe destacar que $A_h f(x)\to f(x)$ para a.e. $x\in (a,b)$ por el teorema de Lebesgue.