Resolviendo

Question

¿Tienes algún consejo sobre cómo resolver el límite en el título? Lo que yo piense no conduce a la solución. Intenté usar:$\sin{x}-\sin{y}=2\cos{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}$ y obtuve:$$\lim_{x\to+\infty}\bigg(2\cos{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}}\sin{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}}\bigg)=$ $$$\lim_{x\to+\infty}\bigg(2\cos{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}}\sin{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}}\bigg)=$ $$$\lim_{x\to+\infty}\bigg(2\cos{\frac{1}{2(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}}\sin{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}}\bigg)$ $ pero, como puedes ver, esto me lleva a$\infty-\infty$ en$\cos$ término. ¿Cómo puedo deshacerme de eso?

Answer 1

Tu método de diferencia de senos es bueno. Deje el término coseno solo y trabaje con el término sinusoidal.

Tenga en cuenta que $\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}=\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}$. Esto va t0$0$ como$x\to\infty$, por lo que el término sinusoidal va a$0$. Más informalmente,$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ está cerca de$0$ cuando$x$ es grande.

El término coseno se mantiene entre$-1$ y$1$, por lo que el producto tiene un límite de$0$.

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo presentar un camino hacia adelante muy eficiente. Del teorema del valor medio , con$f(x)=\sin\left(\sqrt{x}\right)$ y$f'(x)=\frac{\cos\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}$, existe un número$x< \xi< x+1$ tal que

PS

Luego, tomando un límite como$$\sin\left(\sqrt{x+1}\right)-\sin\left(\sqrt{x}\right)=\frac{\cos\left(\sqrt{\xi}\right)}{2\sqrt{\xi}}$,$x\to \infty$ desde$\xi \to \infty$, y vemos inmediatamente que

$$ \begin{align} \lim_{x\to \infty}\left(\sin\left(\sqrt{x+1}\right)-\sin\left(\sqrt{x}\right)\right)&=\lim_{\xi \to \infty}\frac{\cos\left(\sqrt{\xi}\right)}{2\sqrt{\xi}}\\\\ &=0 \end {align} $$

Answer 3

Aviso,$$\lim_{x\to +\infty}\left(2\cos\left(\frac{1}{2(\sqrt{x+1}-\sqrt x)}\right)\sin\left(\frac{ \sqrt{x+1}-\sqrt x}{2}\right) \right)$ $$$=2\lim_{x\to +\infty}\cos\left(\frac{1}{2(\sqrt{x+1}-\sqrt x)}\right)\sin\left(\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt x)}\right)$ $$$=2\lim_{x\to +\infty}\cos\left(\frac{1}{2(\sqrt{x+1}-\sqrt x)}\right)\cdot \lim_{x\to +\infty}\sin\left(\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt x)}\right)$ $ desde,$-1\le \cos y\le 1\ \ \ \forall \ \ \ y\in R$,$$=2(k)\cdot \sin\left(0\right)=\color{red}{0}$ $ donde,$-1\le k\le 1$