¿Son las funciones Lipschitz acotadas densas en $L^1(\mu)$ ?

Question

Estoy leyendo un artículo (L. Ambrosio y B. Kirchheim. Corrientes en espacios métricos) y me he topado con un hecho que no sé cómo demostrar. Tengo la siguiente configuración:

Sea $X$ sea un espacio métrico completo, $\mu$ una medida de Borel finita y sea $\text{Lip}_b(X)$ denotan las funciones Lipschitz acotadas $X \rightarrow \mathbb{R}$ . Entonces $\text{Lip}_b(X)$ se supone que es denso en $L^1(X,\mu)$ .

Supongo que tengo que hacer algo con cierta densidad de $\text{Lip}_b(X)$ en $C(X, \mathbb{R})$ pero como no tenemos ningún supuesto de compacidad, no podemos aplicar Stone-Weierstrass y no sé cómo hemos llegado a ese hecho.

Answer 1

1. Las funciones continuas acotadas son densas en $L^1(X,\mu)$ : Toda medida finita de Borel sobre un espacio métrico es regular, por lo que basta demostrar que las funciones características de subconjuntos cerrados pueden aproximarse mediante funciones continuas acotadas en $L^1$ . Para ello $C\subset X$ cerrarse y $f_n=(1-nd(\cdot,C))_+$ . La función $f_n$ es continua y cumple $0\leq f_n\leq 1$ y $f_n(x)\to 1_C(x)$ para todos $x\in X$ . Así $f_n\to 1_C$ en $L^1$ por convergencia dominada.
2. Toda función continua acotada no negativa sobre $X$ es el límite creciente de las funciones Lipschitz no negativas: Para la semicontinuidad inferior $f\colon X\to [0,\infty)$ deje $$f_n(x)=\inf_y (f(y)+n d(x,y)).$$ Esta función es $n$ -Lipschitz, satisface $f_n\leq f$ y $f_n(x)\to f(x)$ para todos $x\in X$ . En particular, $f_n\to f$ por convergencia monótona.

Editar: No creo que necesite la integridad de $(X,d)$ .