Lo que está mal en esta prueba: que $\mathbb{R}$ tiene medida cero

Question

Considere la posibilidad de $\mathbb{Q}$ que es contable, podemos enumerar $\mathbb{Q}=\{q_1, q_2, \dots\}$. Para cada número racional $q_k$, cubierta por un intervalo abierto $I_k$ centrada en $q_k$ radio $\epsilon/2^k$.

El total de la longitud de los intervalos es una progresión geométrica, que resume a $\epsilon$.

Cada número real se arbitrariamente cerca de un número racional desde $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, cada número real se encuentra en uno de los intervalos.

Por lo tanto la totalidad de la línea real está cubierto por la unión de las $I_k$, lo $\mathbb{R}$ es un valor nulo conjunto con medida cero.

Claramente hay algo mal en la anterior prueba, sin embargo no estoy seguro de donde es?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Aquí está una ligera variación en su construcción.

Considere la posibilidad de $\mathbb{Q}$ que es contable, podemos enumerar $\mathbb{Q}=\{q_1, q_2, \dots\}$. Para cada número racional $q_k$, cubierta por un intervalo abierto $I_k$ centrada en $q_k$ que no contenga $\pi.$

Cada número real se arbitrariamente cerca de un número racional desde $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, cada número real se encuentra en uno de los intervalos. En particular, $\pi$ está en uno de los intervalos.

Ahora, ¿cómo puede $\pi$ estar en uno de los intervalos, cuando cada intervalo fue elegido específicamente para excluir $\pi$?

Sí, hay números racionales arbitrariamente cerca de $\pi.$ El problema es que, como los racionales acercamos más y más a $\pi,$ los intervalos correspondientes se hacen más cortos y más cortos.

Answer 2

Esta parte

Cada número verdadero es arbitrariamente cerca de un número racional puesto que es denso en $\Bbb Q$ $\Bbb R$. Así, cada número real está en uno de los intervalos abiertos.

no es cierto. Un % arbitrario $x\in\Bbb R$, $x$ no mentiras necesarias en cualquiera de $I_k$'s. Si no estás convencido, puedes demostrar que existe un $I_k$ tal que $x\in I_k$el %, no sería tan fácil como pensabas.

Answer 3

Heine-Borel teorema impide a cubrir.

En realidad la respuesta es ridículamente fácil. Suponga que usted puede cubrir irracional y racional de los números contenidos en un intervalo de $[0, 1]$, con una contables de la unión de pequeños intervalos y la suma de estos intervalos es menos de $1$, según Heine-Borel teorema usted puede tomar un número finito de estos intervalos, y debería abarcar $[0, 1]$, de modo de obtener una contradicción como la suma de los intervalos es de menos de $1$.

Answer 4

"Cada número real se arbitrariamente cerca de un número racional desde ℚ es denso en ℝ . Por lo tanto, cada número real se encuentra en uno de los intervalos." Mal. Voy a construir una enumeración específicamente para mostrar que su cubierta no contiene cada número real necesariamente. $\mathbb{Q}$ es la unión de $A_n=\{x\in \mathbb{Q}: \epsilon2^{-n}<|x-\sqrt2|<\epsilon2^{-n+1}\}$ Ahora, enumerar cada una de las $A_n$$a_{n,1},a_{n,2},\ldots$. A continuación, enumerar cada una de las $\mathbb{Q}$ $e_k=a_{m,n-m}$ regularmente con cada entero $k$ puede ser el único descomponerse como $n(n+1)/2 +m$ donde $0\le m \le n$. Se puede ver que $\sqrt2$ no se encuentre en el intervalo de tiempo que usted ha construido.