Dos respuestas para Integral de$ \int_0^\infty \frac{\tan^{-1}ax - \tan^{-1}x}{x}\mathrm dx$

Question

$$ I= \int_0^\infty \frac{\tan^{-1}ax - \tan^{-1}x}{x}\mathrm dx$$ Ahora mediante el uso de Regla de Leibnitz, diferenciando w.r.t. a $a$ somos, $$\frac{\mathrm dI}{\mathrm da}=\frac{\pi}{2a}$$ $$I=\frac{\pi}{2}\ln a$$ Pero considere , $$I_1= \int_0^\infty \frac{\tan^{-1}ax}{x}\mathrm dx$$ $$I_2= \int_0^\infty \frac{\tan^{-1}x}{x}\mathrm dx$$ Así Sustituyendo $ax=t$ en $I_1$ $$I_1= \int_0^\infty \frac{\tan^{-1}t}{t}\mathrm dt$$ Por lo $$I=I_1-I_2=0$$ Así que cuando estoy mal aquí? Sé que hay algún error En el segundo método, como la función es siempre positiva integral no puede ser $0$. Pero yo no soy capaz de averiguar dónde estoy equivocado.

Nota: $a$ es un número positivo

Answer 1

Usted está equivocado cuando divide la integral original en dos integrales. Esto se puede hacer solo cuando ambas integrales divididas convergen a algún valor finito, lo cual no es el caso aquí. Entonces tu segundo método falla. La respuesta correcta es por lo tanto $$I(a)=\frac {\pi}{2}\ln a$ $