¿Qué punto del avión está más cerca del origen?

Question

¿En qué punto del avión $3x+2y+z-6=0$ en $3$ -espacio dimensional es el más cercano al origen cuando la distancia es medida por cada una de las siguientes tres normas: la $1$ -norma, el $2$ -norma, el $ \infty $ -¿Norma?

Para $2$ -Norm, sé que podemos calcular la distancia mínima entre el origen y el plano por medio de una fórmula y luego establecer la línea que cruza el origen y es perpendicular al plano, entonces podemos obtener el punto que queremos. Pero cuando se trata de 1-norma y $ \infty $ -Norm, no funciona.

Answer 1

Para el $1$ -norma las superficies de igual distancia al origen (el equivalente a las esferas) son octaedros con ejes alineados con los ejes de coordenadas. A medida que el "radio" aumenta de $0$ En el caso de los planos, la primera superficie que se cruce con un plano determinado lo hará en un vértice (y posiblemente de forma simultánea en más de un vértice para algunos planos). Por lo tanto, la distancia mínima se situará a lo largo de una de las líneas $x=y=0$ , $x=z=0$ o $y=z=0$ .

Para el $\infty$ -norma las superficies de igual distancia al origen son cubos con caras alineadas con los ejes de coordenadas. De nuevo, al aumentar el "radio" de $0$ La primera superficie que intersecte un plano determinado lo hará en un vértice del cubo. Por lo tanto, la distancia mínima se situará a lo largo de una de las líneas $x=y=z$ , $x=-y=z$ o $x=y=-z$ .