Diferenciar

Question

No estoy seguro de cómo diferenciar $11x^5 + x^4y + xy^5=18$. Tengo un poco de experiencia con la diferencia implícita, pero no estoy seguro de cómo manejar los términos de ambas variables se multiplican juntos.

He intentado

$$\frac{d}{dx}(11x^5 + x^4y+xy^5) = \frac{d}{dx}(18)$$

$$\frac{d}{dx}(11x^5)+\frac{d}{dx}(x^4y) + \frac{d}{dx}(xy^5)=0$$

la diferenciación de cada término

$$\frac{d}{dx} (11x^5)=11\frac{d}{dy}(5x^4) = 55x^4$$

$$\frac{d}{dx} (x^4y) = [4x^3 \cdot y] + [1 \cdot x^4] = 4yx^3+x^4$$

$$\frac{d}{dx}(xy^5) = [1 \cdot y^5] + [x \cdot 5y^4] = y^5 + 5xy^4$$

búsqueda de $\frac{dy}{dx}$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y} = \frac{-[4yx^3+x^4] + [y^5+5xy^4]}{55x^4}$$

Según el sitio web que estoy usando, "Entramado", esto es incorrecto.

Answer 1

diferenciando cada término

PS

PS

PS

Answer 2

Para cada término que implica tanto $x$ e $y$, diferenciar la $x$ e $y$ piezas por separado y se combinan los dos usando la regla del producto: $$(x^4y)'=x^4(y)'+(x^4)'y=x^4\frac{dy}{dx}+4x^3y$$ $$(xy^5)'=x(y^5)'+(x)'y^5=5xy^4\frac{dy}{dx}+y^5$$ Así $$55x^4+x^4\frac{dy}{dx}+4x^3y+5xy^4\frac{dy}{dx}+y^5=0$$ $$(x^4+5xy^4)\frac{dy}{dx}=-(55x^4+4x^3y+y^5)$$ $$\frac{dy}{dx}=-\frac{55x^4+4x^3y+y^5}{x^4+5xy^4}$$

Answer 3

Esta es la forma en que podría hacerlo:

$11x^5+x^4y+xy^5=18$

El uso de la $\frac{d}{dx}$ operador (no $\frac{dy}{dx}$)

$55x^4+\frac{d}{dx}(x^4y+xy^5)=0$

Ahora, utilice la regla del producto en cada parte, en los soportes:

$55x^4+y\frac{d}{dx}x^4+x^4\frac{dy}{dx}+y^5\frac{d}{dx}x+x\cdot4y^4\frac{dy}{dx}=0$

$55x^4+y\cdot3x^3+x^4\frac{dy}{dx}+y^5+4xy^4\frac{dy}{dx}=0$

$55x^4+3x^3y+y^5+\frac{dy}{dx}(x^4+4xy^4)=0$

$\frac{dy}{dx}(x^4+4xy^4)=-55x^4-3x^3y-y^5$

Así que, finalmente,

$\frac{dy}{dx}=-\frac{55x^4+3x^3y+y^5}{x^4+4xy^4}$

Usted acaba de usar los operadores mal, yo creo

Answer 4

usted realmente aplicar la derivada con respecto a la variable $x$ en ambos miembros y desarrollar el uso de su conocimiento de los productos derivados y la regla de la cadena. Tenga en cuenta que para calcular implícitos derivados usted debe pensar, por ejemplo, $y = y (x)$. Esto justifica el pasaje que me marcados con (*). Para ejemplos de $\frac{d}{dx}(y^5)= 5y^4\frac{dy}{dx}$ porque $y = y (x)$. Entonces

$$\frac{d}{dx}(11x^5 + x^4y+xy^5) = \frac{d}{dx}(18)$$

$$\frac{d}{dx}(11x^5)+\frac{d}{dx}(x^4y) + \frac{d}{dx}(xy^5)=0$$

$$(55x^4)+ \left( 4x^3 y + x^4 \frac{dy}{dx} \right) +\left( y^5+5xy^4\frac{dy}{dx}\right) = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$$

$$\left( x^4 \frac{dy}{dx} \right) +\left(5xy^4\frac{dy}{dx}\right) = -55x^4-4x^3 y- y^5$$

$$\left( x^4 +5xy^4\right)\frac{dy}{dx} = -55x^4-4x^3 y- y^5$$

$$\frac{dy}{dx} = \dfrac{-55x^4-4x^3 y- y^5}{\left( x^4 +5xy^4\right)}$$

Answer 5

Creo que es fácil recordar el teorema de la función implícita . PS

$$\color{red}{F(x,y)=0 \implies \frac{dy}{dx}=-\frac{\frac {\partial F(x,y)} {\partial x}} {\frac {\partial F(x,y)} {\partial y}}}$ $ $$F(x,y)=11x^5 + x^4y + xy^5-18=0$ $ $$\frac {\partial F(x,y)} {\partial x}=55x^4+4x^3y+y^5$ $ $$\frac {\partial F(x,y)} {\partial y}=x^4+5xy^4$ $