¿Es posible expresar$\sinh(nx)$ en términos de$\sinh^k(x)$?

Question

Me pregunto si es posible expresar $\sinh(nx)$ en términos de $\sinh^k(x)$ , es decir

PS

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Es posible si $n$ es impar, y es imposible si $n$ es incluso.

Para ver el primer recuerdo que $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2$ y observar la aplicación de teorema del binomio que por extraño $n$: $$ \sinh^nx=\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{m=0}^{\frac{n-1}2}(-1)^m\binom nm \sinh{(n-2m)x}. $$ Como el primer resultado $\sinh3x=4\sinh^3x+3\sinh x$ serán obtenidos. A continuación, aplicar la inducción.

Para ver la segunda observar que, desde $\sinh nx$ es una función impar la suma en el lado derecho de la ecuación se ejecuta en el hecho de que sólo más extraño $k$ y por lo tanto no puede producir incluso exponentes $e^{\pm nx}$.

Answer 2

Su posible para el entero impar $n$:

$$\sinh((2k+1)x) = \sum_{m=0}^k \binom{2k+1}{2m+1}\cosh^{2k-2m} (x) \sinh^{2m+1}(x) $$ y podemos expresar que puramente en potencias de $\sinh x$ mediante el uso de $$\cosh^2x = \sinh^2 x +1 $$ así que $$\sinh((2k+1)x) = \sum_{m=0}^k \binom{2k+1}{2m+1} \sum_{t=0}^{k-m}\binom{k-m}{t} \sinh^{2m+2t+1}(x) $$ y aquí hemos de simplificar dejando $r = m+t$: $$\sinh((2k+1)x) = \sum_{m=0}^k \binom{2k+1}{2m+1} \sum_{i=m}^{k}\binom{k-m}{r-m} \sinh^{2r+1}(x) $$ El coeficiente binomial sumas incluso puede ser simplificado en una forma cerrada, sin sumas de dinero, para obtener una potencia de serie en $\sin x$ con la forma cerrada coeficientes! $$ \sinh((2k+1)x) = \sum_{i=0}^k \frac{4^r(1+2k) \binom{k+r}{2r}}{1+2r} \sinh^r x $$ Por ejemplo, $$ \sinh (9x) = 256 \sinh^9x + 576 \sinh^7 x + 432 \sinh^5 x + 120 \sinh^3 x + 9 \sinh x $$ Incluso integer $n$ también es casi posible, pero en la forma $$ \sinh(2kx) = \cosh x \sum a_r\sinh^r x $$ y no se puede expresar que $\cosh x$ como un polinomio en $\sinh x$.

Answer 3

No es la solución completa.

Tenemos

$$\sinh(nx)=\dfrac{\exp(nx)-\exp(-nx)}{2}=\dfrac{\exp(x)^{2n}-1}{2\exp(x)^n}.$$

Como

$$\sinh(x) = \dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}=\dfrac{\exp(x)^2-1}{2\exp(x)}$$ $$\implies 2\exp(x)\sinh(x)=\exp(x)^2-1$$ $$\implies 0=\exp(x)^2-2\exp(x)\sinh(x)+\sinh^2(x)-\sinh^2(x)-1$$ $$1+\sinh^2(x)=(\exp(x)-\sinh(x))^2$$ $$\exp(x)=\sinh(x)+\sqrt{1+\sinh^2(x)}.$$

He seleccionado el signo positivo de la raíz cuadrada porque de $\exp(x)>\sinh(x)$.

Por lo tanto,

$$\sinh(nx)=\dfrac{\left[\sinh(x)+\sqrt{1+\sinh^2(x)}\right]^{2n}-1}{2\left[\sinh(x)+\sqrt{1+\sinh^2(x)}\right]^n}.$$

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Editar: puede utilizar la de múltiples ángulos fórmula para la función seno

$$\sin(nx) = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\cos^k x\sin^{n-k}x\sin\left[ \dfrac{1}{2}(n-k)\pi \right]$$

evaluados en $x=-iu$ para obtener la expresión que el OP quería (con un complejo de más de un factor de escala). Nota: como ya se ha mencionado por otros usuarios esto sólo es posible para los impares $n$. Sólo entonces será capaz de reescribir la $\cos x$ términos mediante el uso de $1-\sin^2 x$.