Sin duda, es de conocimiento común, más general que el $\epsilon, \delta$ definición de límite de una función en un subconjunto de un espacio métrico en un punto límite del subconjunto - véase por ejemplo la página de 83f. de Walter Rudin, Principios de Análisis Matemático (tercera edición, McGraw-Hill, 1976) - que si $X$ es un espacio topológico, $Y$ es un espacio de Hausdorff, $E$ es un subconjunto de $X$, $f \colon E \to Y$ es una función, $a$ es un punto límite [equivalentemente: cluster punto, la acumulación punto] de un subconjunto $K$ de $E$ (esto no implica $a \in K$, o incluso $a \in E$), y $b$ es un punto de de $Y$, entonces una notación como $$ \lim_{\substack{x \ \ \ x \in K}} f(x) = b, $$ o similar, significa que todos los barrios de $b$ en $Y$ contiene el $f$-imagen de la intersección de las $K$ con un pinchazo en un barrio de $a$ en $X$. Una reciente pregunta preguntado acerca de un caso especial de esto ($E = X = \mathbb{R}$, $K = \mathbb{R} \setminus\{a\}$, $Y = \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$), y me han estado buscando una referencia autorizada para este "conocimiento común".
La única definición que he logrado encontrar en la página 63 de Horst Schubert, Topología (Macdonald 1968). El libro es tristemente fuera de impresión. (Las copias usadas de que no parecen ser muy fáciles de encontrar.) También, la definición de la en términos de los filtros. Aunque no es complicado, la definición requiere la lector de aplicar un número bastante grande de las anteriores definiciones con el fin de llegar en la caracterización en términos de los barrios de $b$ en $Y$y punza los barrios de $a$ en $X$. (He citado las definiciones necesarias en mi respuesta a la pregunta anteriormente citados.)
Hay un libro en la impresión que da una definición explícita de $\lim_{x\to a} f(x) = b$ en el caso general?
Sería ideal si el libro dio la definición más simple en términos de los barrios en $Y$y punza los barrios en $X$, pero una definición más elaborada en términos de los filtros o las redes también es aceptable. Los complicados detalles sobre los subconjuntos de a$E$ e $K$ son de relativamente poca importancia; lo que que importa es que la definición se aplica a los espacios topológicos en general, no sólo la métrica de los espacios.
