Encuentre una base$A$ de espacio$\mathbb R^{4}$ y base$B$ de espacio$\mathbb R^{3}$

Question

Deje $\varphi: \mathbb R^{4} \rightarrow \mathbb R^{3}$: $$\varphi(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{1}+x_{3}+x_{4},x_{1}+x_{2}+2x_{3}+3x_{4},x_{1}-x_{2}-x_{4})$$Find a basis $Un$ of space $\mathbb R^{4}$ and basis $B$ of space $\mathbb R^{3}$ such that $M(\varphi)^{B}_{A}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Creo que sé cómo hacer esta tarea. Sin embargo, yo realmente necesita una evaluación de si es correcto.

Yo:
$M(\varphi)^{st}_{st}={\begin{bmatrix}1&0&1&1\\1&1&2&3\\1&-1&0&-1\end{bmatrix}}$

Después de operaciones elementales en la matriz de $M(\varphi)^{st}_{st}$ tengo sistema de ecuaciones: $\begin{cases} x_{1}+x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{2}+x_{3}+2x_{4}=0\end{casos}$

So $\ker \varphi=lin\a la izquierda\{(-1,-1,1,0),(-1,-2,0,1)\right\}$. This vectors are in a basis $$ but I need two more vectors.

$\dim(\ker\varphi)=2$ so $\dim(im \varphi)=2$ and it can be: $(1,1,1),(0,1,-1)$ (I take $2$ linearly independent vectors from the matrix $M(\varphi)^{st}_{pt}$ columns). This vectors are in a basis $B$.

In this moment I have $=\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2},(-1,-1,1,0),(-1,-2,0,1)\right\}$ and $B=\left\{(1,1,1),(0,1,-1),\beta_{3}\right\}$

From $M(\varphi)^{B}_{A}$ I have:
$\varphi(\alpha_{1})=1 \cdot \beta_{1}$
$\varphi(\alpha_{2})=1 \cdot \beta_{2}$
$\varphi(\alpha_{3})=0$
$\varphi(\alpha_{4})=0$

That is why:

$\varphi(\alpha_{1})=(1,1,1)$ and $\alpha_{1}=(1,0,0,0)$
$\varphi(\alpha_{2})=(0,1,-1)$ and$\alpha_{2}=(0,1,0,0)$
$\beta_{3}$ I can choose anyway because I do not have any dependencies on it. It can be linerly indipendent from other basis vectors, so it can be $\beta=(0,0,1)$

Estaré muy agradecido para la comprobación de esta solución, y la indicación de los errores.

Answer 1

Están adivinando. No hay necesidad de.

Si las bases son, respectivamente, $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ e $\{w_1,w_2,w_3\}$, entonces la condición de la matriz se traduce en $$ \varphi(v_1)=w_1,\quad \varphi(v_2)=w_2,\quad \varphi(v_3)=0,\quad \varphi(v_4)=0 $$ La idea es que luego de completar una base del núcleo, que se ha realizado correctamente.

Desde $\ker\phi$ es el conjunto de vectores de satisfacciones \begin{cases} x_{1}+x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=0\\ x_{1}-x_{2}-x_{4}=0 \end{casos} usted puede hacer la eliminación $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & -2 \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ por lo que una base de $\ker\varphi$ está dado por $v_3=(-1,-1,1,0)$, $v_4=(-1,-2,0,1)$. Ahora completa a base de $\mathbb{R}^4$ encontrar el espacio nulo de $$ \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ La eliminación de los rendimientos $$ \a \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \a \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \a \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} $$ que proporciona a $v_1=(2,-1,1,0)$ e $v_2=(-1,1,0,1)$. Tenga en cuenta que, por construcción, $\{\varphi(v_1),\varphi(v_2)\}$ es linealmente independiente. Ahora tome $$ w_1=\varphi(v_1)=(3,3,2)\qquad w_2=\varphi(v_2)=(0,3,-3) $$ y completar esta a una base de $\mathbb{R}^3$ encontrar el espacio nulo de \begin{bmatrix} 3 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & -3 \end{bmatrix} Eliminación: $$ \a \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2/3 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \a \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5/3 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} $$ de modo que el vector que usted necesita es $w_3=(-5/3,1,1)$.

Answer 2

$\beta_{3}$ Puedo elegir porque de todos modos no tengo ningún tipo de dependencias. Se puede ser linerly independiente de otros vectores de la base, por lo que puede ser $\beta=(0,0,1)$

Tal vez usted quiere decir que bien, pero que no quiere "$\beta_{3}$ (...) puede ser linealmente independiente (...)" sino que tiene que ser , porque de lo contrario, $B$ no estaría en la base. Así que tienes razón en que usted puede elegir libremente $\beta_{3}$, mientras sea linealmente independiente de los dos primeros elementos de la $B$.

Por lo $\ker \varphi=lin\left\{(-1,-1,1,0),(-1,-2,0,1)\right\}$. Este vectores en una base $A$ pero necesito dos más vectores.

$\dim(\ker\varphi)=2$ lo $\dim(im \varphi)=2$ , y puede ser: $(1,1,1),(0,1,-1)$ (aprovecho $2$ vectores linealmente independientes de la matriz $M(\varphi)^{st}_{st}$ columnas)

Me gustaría hacer esto de manera diferente, pero tal vez porque no estoy seguro de que si sigo tu razonamiento.

Basado en el kernel, ya tienes los dos últimos (azul) elementos en $A=\left\{\alpha_1,\alpha_2,\color{blue}{\alpha_3},\color{blue}{\alpha_4}\right\}$, así que ahora simplemente puede ampliar a una completa base de $\mathbb{R^4}$ mediante la selección de cualquiera de $\alpha_1$ e $\alpha_2$, siempre y cuando todos los cuatro son linealmente independientes. La primera de dos vectores de la base de trabajo, por lo que elegir por ejemplo, $\alpha_1=(1,0,0,0)$ e $\alpha_2=(0,1,0,0)$. La forma de la matriz, a continuación, satisfecho automáticamente si usted escoge $\beta_1 = \varphi\left(\alpha_1\right)$ e $\beta_2 = \varphi\left(\alpha_2\right)$ y, a continuación, agregue $\beta_3$ como se describió anteriormente.

Tengo la sensación de que su enfoque es al revés: encontrar el adecuado $\alpha_1$ e $\alpha_2$ para $A$ a partido anterior escogido $\beta_1$ e $\beta_2$ en $B$.

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Pulgares arriba para el bien documentado pregunta, mostrando su propio trabajo.