¿Se puede explicar matemáticamente el resultado de un cambio de una regla simple para construir un triángulo de Pascal?

Question

La única regla que se cambia es el siguiente: cuando la suma de dos números de la fila $(n-1)$ número $N_n$ de la fila $n$ también vamos a añadir el número de la fila $(n-2)$ que está alineado (verticalmente) con la posición del número de $N_n$.

Empezamos con el mismo triángulo $$1$$ $$1---1$$ La siguiente línea $$1---3---1$$ because we added the first $1$ aligned with the result of adding $1+1$ from row $2$. Si seguimos usando esta regla, vamos a obtener un triángulo de Pascal cuyas diagonales son muy interesantes. Ya no sé cómo dar formato a un triángulo de Pascal con mathjax, yo simplemente la lista de algunas de las diagonales.

La primera diagonal es: $$1--3--5--7--9--11--13--15--15--17--19--21...$$

La segunda diagonal está dado por $A001844$ que da centrado en los números al cuadrado. $$1--5--13--25--41--61--85--113--145--181--221...$$ La tercera diagonal está dado por $A001845$ que da centrado octaédrico números (también llamado bola de cristal de secuencia para una red cúbica).
$$1--7--25--63--129--231--377--575--833--1159...$$

La cuarta diagonal está dado por $A001846$ que da centrado en 4 dimensiones orthoplex números (también llamado bola de cristal de la secuencia de 4-dimensional de red cúbica).
$$1--9--41--129--321--681--1289--2241--3649...$$

El quinto diagonal está dado por $A001847$ que da a la bola de cristal de la secuencia de 5-dimensional de red cúbica de números. La sexta diagonal está dado por $A001848$ que da a la bola de cristal de la secuencia de 6-dimensional de red cúbica de números. Supongo que la siguiente secuencia dará a las 7 dimensiones de red cúbica de números ( lo he comprobado ) y superior.

Algunas de las fórmulas para generar los números que se dan en la OEIS secuencias dadas anteriormente.

El primer $7$ filas del triángulo tener este aspecto: $$1$$ $$1---1$$ $$1---3---1$$ $$1---5---5---1$$ $$1---7---13---7---1$$ $$1---9---25---25---9---1$$ $$1---11---41---63---41---11---1$$

Nota el patrón que se repite de forma indefinida formado por la multiplicación de números bajo la partida $1$ en la parte superior de la siguiente manera: $$1*3+1*1=4=2^2=(1+1)^2$$ $$3*13+5*5=64=8^2=(3+5)^2$$ $$13*63+25*25=1444=38^2=(13+25)^2$$.

El triángulo tiene otras propiedades que merecen ser mencionados. Si añadimos término por término de la primera diagonal y la segunda para obtener: $$(1+1),(3+5), (5+13), (7+25), (9+41), (11+61), (13+85)...$$ we get the sequence $2n^2$.

Si añadimos la segunda diagonal y el tercer término por término, obtenemos la secuencia A035597 que da el número de puntos de la L1 a la norma 3 en la red cúbica Z^n. Su fórmula es ($4n^3+2n)/3$:

$$(1+1), (5+7), (13+25), (25+63), (41+129), (61+231)...$$

Pero también se puede obtener de nuevo los números multiplicando término a término la primera y la segunda de las diagonales. Tenemos OEIS A005917 Rómbico dodecahedral números: $a(n) = n^4 - (n - 1)^4$
$$1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439...$$

Probablemente hay más patrones ocultos a la espera de encontrar en este triángulo. Sólo una búsqueda sistemática puede encontrar.

Hay muchas preguntas que vienen a la mente.

1-¿Cómo es que una simple modificación de una regla proporciona un cambio.
2-¿Cuál de las matemáticas (fórmulas, teoremas...) es común a ambos triángulos (suponiendo que algunas características son comunes a los dos triángulos que no es obvio en este punto).
3-Tener el efecto de otras modificaciones de la regla para construir un triángulo de Pascal sido sistemáticamente estudiado antes? ( Por ejemplo, uno puede pensar en un clásico triángulo de Pascal, donde el resultado se eleva al cuadrado...).

Si alguien puede pensar en más significativas de las etiquetas, por favor, añadir o cambiar.

Answer 1

a) En el trato con tales matrices triangulares, es conveniente organizarlos como una Triangular Inferior de la matriz (la matriz), indexada de $0$. Que simplifica en gran medida la notación, y permite la matriz de "herramientas" para ser aplicado.

b) En este esquema, el LT Pascal matriz ($\bf P$) es definida por la recurrencia $$ \left\{ \matriz{ p_{\,0,\,m} = \left[ {0 = m} \right] \hfill \cr p_{\,n,\,m} = p_{\,n - 1,\,m} + p_{\,n - 1,\,m - 1} \hfill \cr} \right. $$ donde $[P]$ denota la Iverson soporte,
o de manera más compacta como $$ p_{\,n,\,m} = \left[ {0 = n} \right]\left[ {0 = m} \right] + \left[ {1 \le n} \right]\left( {p_{\,n - 1,\,m} + p_{\,n - 1,\,m - 1} } \right) $$ Tenga en cuenta que las Condiciones Iniciales son tanto la clasificación como la de la recurrencia de la misma.

c) El LT "modificado" Pascal matriz ($\bf Q$) que propone va a leer $$ q_{\,n,\,m} = \left[ {0 = n} \right]\left[ {0 = m} \right] + \left[ {1 \le n} \right]\left( {q_{\,n - 1,\,m} + q_{\,n - 1,\,m - 1} } \right) + \left[ {2 \le n} \right]q_{\,n - 2,\,m} $$ Tenga en cuenta que es un segundo grado de recurrencia, en lugar de un primer grado, y que involucra tres precursores en lugar de dos.
No hay duda de que se producirá un resultado diferente, y de hecho muy interesante, y aquí voy a limitar a
sumariamente describir algunos, además de los ya indicados.

La matriz de ($0 \ldots 10 \times 0 \ldots 10$) es

d) El doble de o.g.f. será $$ G(x,y) = \sum\limits_{0\, \le \,n} {\sum\limits_{0\, \le \,m} {q_{\,n,\,m} x^{\,n} y^{\,m} } } = {1 \over {1 - x\left( {1 + y} \right) - x^{\,2} }} $$ que para $m=0 \to y=0$ es el de los Números de Fibonacci, que son, de hecho, en la primera columna.
Las siguientes columnas son las circunvoluciones de la serie N.

Poner a $y=1$, obtenemos la junta.g.f. de la fila sumas, que se corresponde con los Números de Pell (cambiado por uno).

e) En relación a la matriz de Pascal $\bf P$, resulta que ambos son similar a la bidiagonal matriz $\bf I + \bf E$, y por lo tanto son similares el uno al otro. $$ {\bf I + E} = \left( {\matriz{ 1 & 0 & 0 & \cdots \cr 1 & 1 & 0 & \cdots \cr 0 & 1 & 1 & \cdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \cr } } \right) $$

Por otra parte $$ {\bf Q}\,{\bf P}^{\, - \,{\bf 1}} = {\bf A}\quad \left| {\;a_{\,n,\,m} :\left[ {0 = \left( {n + m} \right)\bmod 2} \right]\left( \matriz{ {{n + m} \over 2} \cr m \cr} \right)} \right. $$

.. y mucho más.

Answer 2

Esta es la puerta de entrada a todo un mundo de Número-Teoría Combinatoria placer !

Con respecto a tu tercera pregunta, uno de mis favoritos es el Trinomio Coeficientes, donde cada término es la suma de los tres anteriores,

$$1$$ $$1, 1, 1$$ $$1, 2, 3, 2, 1$$ $$1, 3, 6, 7, 6, 3, 1$$ $$1, 4, 10, 16, 19, 16, 10, 4, 1$$

Esto expande $(1+x+x^2)^n$ en mucho la misma manera como el Triángulo de Pascal se expande la Binomial es $(1+x)^n$

Así, por ejemplo, que la última fila nos dice que, $$(1+x+x^2)^4$$ $$=1+4x+10x^2+16x^3+19x^4+16x^5+10x^6+4x^7+x^8$$

Hay otros Multinomials, por supuesto, de órdenes superiores.

Estoy mirando adelante a las otras respuestas que tu interesante pregunta que vamos a generar.