¿Es la verdad formal en lógica matemática una generalización de la verdad intuitiva, todos los días?

Question

Estoy tratando de envolver mi cabeza alrededor de la relación entre la verdad en la lógica formal, ya que el valor de una expresión formal puede tomar, en contraposición a la habitual de las nociones de verdad.

Antecedentes personales: Cuando yo estaba tomando una clase en la lógica formal en el último semestre, he encontrado que la manera más eficaz para hacer mi tarea se olvide de mi típica de las nociones de verdad y falsedad, y, simplemente, tratar a la verdad y la falsedad como formal, los valores abstractos que expresiones formales pueden ser asignados. En otras palabras, he tratado de todo, formalmente, que desde el nombre del curso es de suponer que lo que debía hacer, mientras que la resolución de problemas.

Por otro lado, me salió del curso más confundido que iluminada sobre lo que de verdad se refiere a las matemáticas. Por ejemplo, en lo que son los niveles de cada una de las siguientes dos afirmaciones "verdaderas"?

1. Hay infinitos números primos.
2. La función vacía $f\colon \emptyset \to \mathbb R $ es inyectiva.

Para la primera, yo, obviamente, puede ver que no sería una contradicción si hay sólo un número finito de números primos. Para mí, el clásico de la prueba por contradicción no es una "prueba formal" o nada; es simplemente un lenguaje natural argumento que demuestra (en el sentido cotidiano de la palabra "prueba") por la cual la sentencia debe ser verdadero (en el sentido cotidiano de la palabra "verdadero").

Por otro lado, me encuentro en problemas cuando trato de pensar acerca de la segunda. El concepto de la "función vacía" ni siquiera se siente como que tiene sentido, pero si me pongo a pensar como la relación entre el $\emptyset$ $\mathbb R$ que no contiene elementos, y luego de intentar escribir la instrucción formalmente, me sale (si lo hice bien)

$ \forall x \forall y ( ((x\in \emptyset) \de la tierra (y\in \emptyset) \de la tierra (f (x) = f (y))) \implica (x=y)) $

que creo que tiene que ser cierto en un sentido formal (ya que el antecedente es siempre falso?). Pero para ser honesto, realmente no sé cómo pensar acerca de la "verdad" aquí; la situación se siente mucho más confuso que con la primera declaración.

Así que, en conclusión, mis preguntas son:

En qué sentido cada uno de los enunciados anteriores "verdadero"? Y, más en general,

Es la noción de verdad en (matemática) de la lógica sólo formal valor asignado a las expresiones? O debo pensar en él como lo abarca, pero también la generalización, la idea intuitiva de una declaración verdadera?

(Cualquier acertados comentarios o respuestas son muy apreciados, incluso si no atienden a todas mis preguntas directamente.)

Answer 1

Me gusta pensar que la verdad matemática es un modelo matemático de "mundo real la verdad", similar en mi mente a la forma en que la matemática de la recta numérica real $\mathbb{R}$ es un modelo matemático de un "mundo real" de línea, al igual que para muchos otros modelos matemáticos.

Con el fin de lograr el nivel de rigor necesarios para hacer matemáticas, a veces la descripción del modelo matemático tiene detalles formales que tal vez no refleja nada en particular que uno ve en el mundo real. Oh bien! Eso es sólo la forma en que van las cosas.

Así que sí, el vacío de la función es inyectiva. Es una formal consecuencia de cómo nos axiomatize matemática de la verdad.

Y, por cierto, sí, hay una infinidad de números primos. La clásica prueba por contradicción que usted siente que es una lengua natural de prueba y que no es realmente una "prueba formal" es realmente no es muy difícil de formalizar. Parte de la formación de un matemático es (a) el uso de nuestra intuición natural, la experiencia, o lo que sea, con el fin de llegar con el lenguaje natural de las pruebas y, a continuación, (b) a su vez los de lenguaje natural de pruebas en pruebas.

Answer 2

Su principal problema aquí es que parece ser que usted se está preguntando cómo todas las instrucciones siguientes:

Si la Tierra es plana, entonces la Tierra existe.

Si la Tierra es plana, entonces la Tierra no existe.

Si hay vida en Europa, entonces la Tierra existe.

podría ser significativamente asigna el mismo valor de verdad en el mundo real. Estos son los llamados vacuo verdades, los dos primeros debido a la falsedad de la condición significa que el consecuente es irrelevante, y la tercera, porque la verdad del consecuente significa que la condición es irrelevante. Uno podría interpretar la lógica como un juego de algún tipo, donde el armario intenta convencer a la refuter de su reclamación. Si el armario de hace una afirmación de la forma:

Si, a continuación, B.

a continuación, el refuter debe tratar de refutar. Cómo? Ella debe convencer al armario que es cierto, pero sin embargo, B es falsa. De vuelta a nuestro vacuo ejemplos, el refuter debe convencer al armario de que la Tierra es plana. Nah... Eso no va a suceder, que es la razón por la refuter no puede refutar el armario. En el tercer caso, el refuter debe convencer al armario de que la Tierra no existe. De nuevo, no hay manera...

Por otro lado, el armario puede probar los dos primeros reclamos al demostrar que la Tierra no es plana! (Ven, sígueme en todo el mundo en ochenta horas). Después de hacer esto, se puede convencer a la refuter que siempre puede mantener su promesa porque no puede ser roto; la Tierra no es plana, por lo que la condición de su promesa y nunca llegará a pasar. La consecuente parte de su promesa es irrelevante. En el tercer caso, la condición de parte es irrelevante porque el armario puede convencer a la refuter que no importa si ella puede demostrar que hay vida en Europa, él puede convencer de que la Tierra existe.

Este es exactamente el mismo que cuando usted habla de un vacío de la función inyectiva:

Cualquier función con dominio vacío es inyectiva.

que se expande a: $\def\none{\varnothing}$

Dada cualquier función de $f$ tal que $Dom(f) = \none$, y cualquier $a,b \in Dom(f)$ si $f(a) = f(b)$$a = b$.

Bien, ¿qué hace el armario tiene que hacer para convencer a la refuter? Él dice, dame cualquier función de $f$ tal que $Dom(f) = \none$, y dar a me $a,b \in Dom(f)$! El refuter simplemente no se puede! No hay ningún objeto en $Dom(f)$!

Pero espera, es decir, ¿también verdadera declaración:

Cualquier función con singleton dominio es inyectiva.

que se expande a:

Dada cualquier función de $f$ tal que $Dom(f) = \{x\}$ algunos $x$, y cualquier $a,b \in Dom(f)$ si $f(a) = f(b)$$a = b$.

Esta vez el refuter puede continuar el juego. Ella le da el armario de una función de $f$ y proporciona un $x$ tal que $Dom(f) = \{x\}$, y también le da $a,b \in Dom(f)$. Pero, a continuación, el armario de ahora le dice: Ves? Usted me aseguró que cada objeto en $Dom(f)$ es igual a $x$, por lo que he de aceptar que $a = x$$b = x$, y por lo tanto por el significado de la igualdad de $a = b$. Ahora puedo convencerte de que si $f(a) = f(b)$$a = b$. (Este es exactamente el tercer tipo de vacuo declaración de la que hablábamos al principio.) De hecho, no me ha convencido de que $a = b$, por lo que no necesitas a molestar incluso a mostrarme ese $f(a) = f(b)$?

Answer 3

Descargo de responsabilidad: yo soy un formalista.

En mi opinión, la lección correcta es la pregunta el diario, la idea intuitiva de la verdad — es decir, yo audacia de afirmar que el diario, la idea intuitiva de la verdad es también un medio de asignar un valor a declaraciones informales.

Nos gusta pensar que hay algo más profundo significado para él, y no puede ser, pero en la práctica, una "verdad" es simplemente una etiqueta que ponemos a las declaraciones que llegamos a algún tipo de 'aceptable' de forma, tales como

• el resultado de una lo suficientemente plausible el argumento de la hipótesis aceptadas
• el resultado de un estudio científico
• el resultado de nuestro cerebro, el procesamiento de los estímulos externos

o incluso cosas como

• decidir que no queremos o no se puede contemplar la negación
• ilusión

(por supuesto, las dos últimas son las que rara vez se hace consciente en esos términos).

Así, el diario, la idea intuitiva de la verdad realmente es similar a la formal de la noción matemática de una verdad de valoración: es sólo un medio de la asignación de valores a ciertas declaraciones informales. Y justo como la forma matemática de la verdad valoraciones deben respetar (formal) deducción lógica, nos gusta el diario, la idea intuitiva de la verdad, el respeto por nuestros diferentes medios informales para obtener conocimiento.

Answer 4

Desde un punto de vista filosófico, esto es realmente una gran pregunta! En realidad lo que uno podría necesitar una buena idea de todo el día la verdad así como de matemática de la verdad, para responder a esta pregunta. Lo que la verdad en un sentido podría significar que se discute prácticamente todo el tiempo en toda la historia de la filosofía, y voy a omitir esta aquí.

La pregunta qué es la verdad en las matemáticas podría significar fue uno de los temas principales en la base de la crisis de principios del siglo 20 y es la infinidad de publicaciones discutido desde siempre. La segunda (y muy relacionado con la pregunta era (y es): ¿qué son los objetos de las matemáticas? En aquel entonces no eran principalmente tres puntos de vista: El platónico, que piensa que hay algún tipo de planos de los objetos matemáticos y todo lo que uno hace, es descubrir algo de verdad (en un lugar todo el día el sentido de la verdad) acerca de sus propiedades. El formalista, que no piensa, los objetos matemáticos existen en absoluto, sino que son definidas implícitamente por algunos axiomas y, a continuación, la verdad no es otra cosa coherencia con estos axiomas. Y por último el intuitionist, que piensa que los objetos matemáticos son criaturas de la mente humana. El punto de partida para la intuitionist es la habilidad de contar, lo que suma en los números naturales. Everey otro objeto y cada declaración verdadera, entonces tiene que ser construido a partir de estos primeros objetos y algunos básicas de la lógica, que no incluye la ley de medio excluido, es decir, no prueba por contradicción. Sorprendentemente suficiente, es posible reconstruir una muy rica parte de las matemáticas, incluso en un puro intuinitionist sabor.

Durante todo el siglo 20 hubo una gran cantidad de matemáticos y philosohical escritos en torno a estas preguntas (ver Hilbert, Brower, Whitehead, Putnam, Günther, Turing, Gödel y muchos otros). Por suerte, este filosófica uncertainity de no mantener los matemáticos de hacer matemáticas. Lo que creo que es realmente interesante es la capacidad de cambiar entre los diferentes estados: Atacar un problema requiere a menudo (al menos en mi campo de interés, que es longitudinal entre la geometría) en primer lugar, para obtener una buena intuición sobre los objetos (esto es el platónico parte), una fuerte labor constructiva en el interior de la mente (esta es la intuitionist parte) y, finalmente, poner todo en una rigurosa prueba (que es el formalista parte). Y más a menudo este no es un proceso lineal, sino más bien un continuo ir adelante y atrás...

Como Reuben Hersh: ""El trabajo matemático es un Platónico en los días de semana, un formalista en los fines de semana. En los días de semana, cuando de hacer matemáticas, él es un Platónico, convencido de que va a enfrentarse con una realidad objetiva, cuyas propiedades está tratando de determinar. Los fines de semana, si el reto de dar un filosófica cuenta de esta realidad, es más fácil fingir que no cree en ello. Él juega formalista, y pretende que las matemáticas es un juego sin sentido.... ¿Importa? Sí. La verdad y el significado no recóndito de términos técnicos. Se refieren a cualquier persona que utilice o enseña matemáticas."

Si por casualidad usted entender alemán: Hay un muy buen libro de un sociólogo, quien hizo una investigación sobre cómo la comunidad matemática funciona y cuáles son las principales características de las matemáticas en comparación con otros campos de la ciencia. Se da un buen bases sobre algunos antecedentes filosóficos y tranquilo interesantes conocimientos sobre la mecánica de la investigación matemática. Bettina Heintz: Die Innenwelt der Mathematik.

Otra buena pregunta entra en el juego: ¿Cuál es la conexión entre las matemáticas y la "realidad"? Más precicly: ¿Cómo las matemáticas y aplicaciones de la ciencia, ciencias sociales, ingeniería y así sucesivamente interactuar? Si la matemática era sólo un juego técnico, o algunos de construir en la mente humana, ¿cómo es posible, que tiene un rico campo de las aplicaciones? Por otro lado: ¿todo esto de las aplicaciones implica, que los objetos matemáticos realmente vivir en el mundo físico, y si es así, ¿qué implica esto para los que son capaces de hacer verdad? Ver por ejemplo los trabajos de Putnam, que incluyen pensamientos profundos en esta dirección.

No se mucho de una respuesta, más de un loos colección de algunas de pensamiento. La esperanza da un poco de entrada, aunque!

Answer 5

Lee Mosher ya ha dado una excelente respuesta general, y user21820 ha dado una buena explicación de vacío de la verdad. Me gustaría expandir sus respuestas mediante la descripción de lo que yo pienso acerca de vacío de funciones, lo cual me parece justo como el hormigón y el intuitivo como otras funciones.

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Como muchas personas, me gusta pensar en un conjunto, como un tipo de cosas.^ Por ejemplo, hay

• un conjunto $\mathbf{Fruit}$ que todos los frutos que califica como un elemento de,
• un conjunto $\mathbf{Papayas}$ que cada papaya califica como un elemento de,
• un conjunto $\mathbf{Mammals}$ que todos los mamíferos califica como un elemento de,
• un conjunto $\mathbf{OwlPellets}$ que cada búho de pellets califica como un elemento de,
• un conjunto $\{\text{Vectornaut}\}$ que sólo puedo calificar como un elemento de, y
• un conjunto $\varnothing$, de modo exclusivo, que nada de lo califica como un elemento de ella.

Observar que $\mathbf{Papayas} \subset \mathbf{Fruit}$, debido a que cada papaya es una fruta. Del mismo modo, $\{\text{Vectornaut}\} \subset \mathbf{Mammals}$, porque yo, la única cosa que se califica como un $\{\text{Vectornaut}\}$, de pasar a ser un mamífero.

Una función de $A \to B$ es como una máquina expendedora: si se le cae un $A$ en la ranura, la máquina va a escupir un $B$ para que usted disfrute. Si se le cae algo que no es una $A$, la máquina se rechazan, ya que sólo acepta $A$s. Si se le cae un plátano en un $\mathbf{Fruit} \to \mathbf{Papayas}$ máquina expendedora, por ejemplo, la máquina de escupir una papaya. (Este es un útil de la máquina expendedora si te gusta la papaya más que cualquier otra fruta.) Si se le cae un ratón en un $\mathbf{Fruit} \to \mathbf{Papayas}$ máquina expendedora, el ratón se acaba de lanzar la moneda de cambio, porque no es una fruta. Si se le cae un ratón en un $\mathbf{Mammals} \to \mathbf{OwlPellets}$ máquina expendedora, por otro lado, la máquina se muevan un poco y luego escupir un búho de pellets. (Creo que puedo adivinar lo que se esconde allí.)

Un $\varnothing \to \mathbf{Fruit}$ máquina expendedora es tan selectiva que no va a aceptar cualquier cosa como forma de pago. Se puede volcar en los delfines o el búho de pellets o de oro dubloons, pero todo acaba lanza la moneda de cambio, y nunca obtener ningún fruto. Este es un estúpido tipo de máquina expendedora, pero es útil ser capaz de hablar, porque las máquinas expendedoras como este realmente existe-en el lenguaje cotidiano, a los que llamamos "fuera de orden".

Es imposible que un $\mathbf{Fruit} \to \varnothing$ máquina expendedora de existir. La razón es que hay cosas que realmente no califican como fruta-yo tengo uno a la derecha aquí en mi encimera de la cocina-y si se le cayó una de esas cosas en un $\mathbf{Fruit} \to \varnothing$ máquina expendedora, la máquina tenía que escupir algo que se califica como un $\varnothing$. Ya que nada de lo que califica como un $\varnothing$, la máquina no puede funcionar como adversised.

Por otro lado, es posible que un $\varnothing \to \varnothing$ máquina expendedora de existir. Aunque no hay nada que la máquina podría dar usted a cambio de un pago, no hay nada que se acepta como pago, por lo que nunca dejará de funcionar como se anuncia.

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^ Las reglas de la teoría de conjuntos están diseñados para capturar esta imagen intuitiva.