Asociocomutatividad

Question

Una cosa que he notado es que la adición y la multiplicación, tanto en su forma conmutativa grupos sobre los reales, pero resta, división y exponenciación no son ni asociativa ni conmutativa. Ignorando los problemas con el cierre de la división y, posiblemente, exponenciación, 5 todos tienen la propiedad de que $(a \star b) \star c = (a \star c) \star b$ (a los que yo llamo "derecho associocommutativity" porque la intercambiado los operandos están a la derecha). Tanto la izquierda y la derecha associocommutativity están implícitas en la combinación de asociatividad y conmutatividad. Sin embargo, tetration ($\uparrow\uparrow$, que se repite exponenciación) no tiene ni de izquierda ni de derecha associocommutativity.

Ahora, mi pregunta: ¿hay un nombre mejor para esto? ¿Qué otras operaciones que no son tanto asociativa y conmutativa tienen esta propiedad? ¿Por qué no esta el trabajo para tetration? Hay una propiedad similar que todas estas operaciones?

Answer 1

Las álgebras de satisfacer $(a\cdot b)\cdot c=(a\cdot c)\cdot b$ para todos los $a,b,c \in A$ han sido estudiadas en geometría. Para una clase especial, consulte nuestro artículo aquí. Denota el derecho a la multiplicación por un elemento $x$ por $R(x)$, podemos reescribir la identidad como $$ [R(x),R(y)]=R(x)R(y)-R(y)R(x)=0. $$ Así el derecho multiplicaciones todo el viaje. Hay varios $K$-álgebras de que no son ni conmutativa ni asociativa y que surgen de manera natural en muchas áreas de las matemáticas y la física.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que, si $G$ es un grupo abelian que actúa sobre el derecho en un conjunto $X$ (decir que denotan la acción por $\cdot$), entonces podemos obtener otro derecho de acción $*$ de $G$ a $X$ por $x*g=x\cdot g^{-1}$.

Desde la adición y la multiplicación puede ser visto como abelian grupos que actúen en sí mismos, esto nos permite también ver la resta y la división de esta manera.

Ahora, tenga en cuenta que cualquier derecho de acción $*$ de un conmutativa semigroup $(G,\cdot)$ sobre un conjunto $X$ tendrá la propiedad que desea: $(x*g)*h=x*(g\cdot h)=x*(h\cdot g)=(x*h)*g$.

Esto explica todos sus ejemplos.