Demostrar que de tal manera que .

Question

En Spivak Cálculo, en el capítulo 1 de la pregunta 11 vi. le pide al lector a encontrar todos los números de $x$ para que $\lvert x-1\rvert+\lvert x+1 \rvert <1$. Intuitivamente hablando, es bastante obvio que no hay ningún número $x$ que haría de esta desigualdad verdadera, y en la comprobación de una gráfica de la ecuación ahora estoy seguro de esto. A pesar de que el libro de texto no pedir una prueba, yo soy curioso en cuanto a cómo se podría ir sobre lo que demuestra esta rigurosamente? Sería esto requiere el uso de múltiples casos o es posible sin?

Gracias por la comprensión.

Nota: Idealmente, cualquier prueba presentada no requieren cálculo, como que está más allá del alcance del primer capítulo del libro, pero yo todavía estaría interesado en cualquier prueba que implican el cálculo como esta es por pura curiosidad.

Answer 1

Supongamos que existe $x_0\in \Bbb R $ tal que $\lvert x_0-1\rvert+\lvert x_0+1 \rvert <1$ . Entonces \begin{align}|2|&=|x_0-1-(x_0+1)|\\ &\leq \lvert x_0-1\rvert+\lvert -(x_0+1) \rvert\\&=\lvert x_0-1\rvert+\lvert x_0+1 \rvert\\ & <1 \end {align} , una contradicción.

Answer 2

Caso 1: $x \le -1$

$|x - 1| + |x + 1| = -(x - 1) + -(x + 1) = -2x \ge 2$

Caso 2: $-1 \le x \le 1$

$|x - 1| + |x + 1| = -(x - 1) + (x + 1) = 2$

Caso 3: $1 \le x$

$|x - 1| + |x + 1| = (x - 1) + (x + 1) = 2x \ge 2$

Answer 3

Porque por la desigualdad del triángulo $$|x+1|+|x-1|=|x+1|+|1-x|\geq|x+1+1-x|=2\geq1.$ $