Esta pregunta es un poco matemática. Se trata de la relación entre la función de correlación en la frecuencia de Matsubara y la función de correlación retardada en la frecuencia real. La siguiente pregunta se basa en el contenido del libro de Flensberg y Bruus
La función de correlación retardada $G^R (\omega)$ se puede obtener tomando la continuación analítica de la función de correlación $G(\omega)$ en la frecuencia de Matsubara, es decir $G^R (\omega) = G (i\omega_n \rightarrow \omega + i\eta)$ con $\omega_n$ siendo la frecuencia de Matsubara, $\omega$ siendo la frecuencia real y $\eta \rightarrow 0$ siendo un número positivo infinitesimal. Este teorema se puede demostrar utilizando la representación de Lehmann.
Sin embargo, al leer el libro de texto de Flensberg y Bruus, descubrí que el ejemplo de la función de correlación densidad-densidad parece violar el teorema anterior.
La función de correlación densidad-desistencia del gas de Fermi no interactivo $\chi$ en el dominio del tiempo imaginario viene dado por \begin{equation} \chi (q, \tau )=-\frac{1}{V}\langle T_\tau \rho (q,\tau)\rho(-q,0) \rangle, \end{equation} con $\tau$ siendo el tiempo imaginario. Aquí, $V$ es el volumen del sistema y $\rho (q) = \sum_{k,\sigma = \pm} c^\dagger_{k\sigma}c_{k+q,\sigma}$ es la densidad de partículas en el espacio de momento. Tomando la continuación analítica de la función de correlación densidad-densidad de Matsubara, obtenemos \begin{equation} \chi (q, i\omega_n \rightarrow \omega + i\eta )=-\frac{1}{V} \langle \rho _{q=0}\rangle \langle \rho_{q=0}\rangle+ \frac{1}{V} \sum_{k, \sigma} \frac{n_F (\epsilon_k)-n_F (\epsilon_{k+q})}{\omega + \epsilon_k-\epsilon_{k+q}+i\eta}. \end{equation}
Por otro lado, la correlación densidad-densidad retardada $\chi^R$ se define como \begin{equation} \chi^R (q, t-t')=-i\theta (t-t')\frac{1}{V} \langle [\rho(q,t), \,\,\rho (-q,t')] \rangle. \end{equation} con $t$ siendo el tiempo real. Por la contracción de Wick, $\chi^R$ en el espacio de frecuencias toma la forma \begin{equation} \chi^R (q, \omega )=\frac{1}{V} \sum_{k, \sigma} \frac{n_F (\epsilon_k)-n_F (\epsilon_{k+q})}{\omega + \epsilon_k-\epsilon_{k+q}+i\eta}. \end{equation} .
En comparación con $\chi (q, i\omega_n \rightarrow \omega + i\eta )$ con $\chi^R (q, \omega )$ hay un término adicional $-\frac{1}{V} \langle \rho _{q=0}\rangle \langle \rho_{q=0}\rangle$ en $\chi (q, i\omega_n \rightarrow \omega + i\eta )$ .
¿Significa esto que se viola el teorema relevante para la continuación analítica mencionado anteriormente, aunque el término extra sea inofensivo?
Gracias.
