Primeros ideales en$\mathbb{Z}[X], \mathbb{Q}[X], \mathbb{F}_{19}[X]$.

Question

La vieja pregunta de examen

Considere los siguientes ideales :

$I = (X^{2018}+3X+15)$;

$J = (X^{2018}+3X+15, X-1)$;

$K = (X^{2018}+3X+15, 19)$.

Determinar si ellos son los principales ideales en $\mathbb{Z}[X], \mathbb{Q}[X], \mathbb{F}_{19}[X]$, respectivamente.

Como $\mathbb{Z}[X]$ es un UFD, $X^{2018}+3X+15$ satisface el criterio de Eisenstein en $p=3$, por lo que es irreducible en a$\mathbb{Z}[X]$. Ahora para los Pid, sabemos que todos los irreducibles son los principales, pero como $\mathbb{Z}[X]$ no es un PID, no podemos invocar la equivalencia $$(p) \text{ is a prime ideal} \iff p \text{ is a prime element} \iff p \text{ is irreducible}.$$ Hay otra forma de determinar que $I$ es primo? Si es así, que implica es irreducible en a$\mathbb{Q}[X]$? Para $\mathbb{F}_{19}[X]$ no estoy seguro si es diferente a la de $\mathbb{Z}[X]$, como "la reducción del módulo de 19" no hace nada en este caso.

Veo que para $K$, en el caso de $\mathbb{F}_{19}[X]$ reduce al igual que en el caso de $I$, $\bar{19} = \bar{0}$, por lo que esto no añade nada a la ideal.

Para $J$, veo que no hay estrategia posible en absoluto.

Answer 1

De hecho, la implicación irreductible $\implies$ prime es cierto para la Ufd, como se discutió en esta pregunta. (Por otra parte, suponiendo que cada elemento de factores irreducibles en un dominio $R$, a continuación, $R$ es un UFD iff cada irreducible es primo. Ver esta página de Pilas de Proyecto para una prueba.)

Sugerencia para $J$: Divida $X^{2018} + 3X + 15$ por $X-1$ o, mejor aún, darse cuenta de que usted puede encontrar su resto con sólo conectar $X=1$. Esto demuestra que $X^{2018} + 3X + 15 = q(X) (X-1) + 19$ para algunos $q(X) \in \mathbb{Z}[X]$, lo $J = (X^{2018}+3X+15, X-1) = (X-1, 19)$.

Answer 2

La caracterización de la U. D. s es este

Un anillo es una U. F. D. si y sólo si satisface los dos siguientes condiciones:

1. Cada secuencia ascendente de los principales ideales satisface el ascendente de la cadena de condición (es decir, cada débilmente secuencia ascendente de los principales ideales en última instancia es constante).
2. Elementos irreductibles son los principales.

También, se sabe que un polinomio en $\mathbf Z[X]$ es irreducible en ese anillo si y sólo si ithe g.c.d. de sus coeficientes es $1$ y es irreducible en a$\mathbf Q[X]$ (Gauss' lexema).