Bosquejo de la prueba: Vamos a $\Gamma \le {\rm Iso}(\Bbb R^2)$ ser un fondo de pantalla de grupo. A continuación, $\Gamma$ tiene normalmente un subgrupo isomorfo
a $\Bbb Z^2$ con un límite del cociente de la $F$. Este finito grupo actúa en el entramado $\Bbb Z^2$ por conjugación.
Podemos obtener una representación fiel
$$
F \hookrightarrow {\rm Aut}(\Bbb Z^2)\cong GL_2(\Bbb Z).
$$
El grupo $GL_2(\Bbb Z)$ tiene exactamente $13$ diferentes clases conjugacy de subgrupos finitos,
llama la aritmética adorno clases:
\begin{align*}
C_1 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle,\;
C_2 \cong \left\langle \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\rangle,\;
C_3 \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \right\rangle, \\
C_4 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \right\rangle, \;
C_6 \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle, \;
D_1 \cong \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\rangle, \\
D_1 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\rangle, \;
D_2 \cong \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\right\rangle, \\
D_2 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\right\rangle, \; D_3 \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\right\rangle, \\
D_3 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}
\right\rangle,\\
D_4 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\right\rangle, \; D_6\cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\right\rangle.
\end{align*}
Este es un sencillo cálculo. Aquí $C_1,C_2,C_3,C_4,C_6$ son cíclicos grupos y $D_1,D_2,D_3,D_4,D_6$ son diedro grupos. Utilizamos aquí, que la orden de $n$ de un subgrupo debe satisfacer $\phi(n)=deg(\Phi_n)\mid 2$, por lo que $n=1,2,3,4,6$. Este es el llamado cristalográficos de la condición. El fondo de pantalla de los grupos surgen a partir de estos $13$ clases de clases de equivalencia de extensiones
$$
1\rightarrow \Bbb Z^2\rightarrow \Gamma\rightarrow F\rightarrow 1,
$$
determinado por $H^2(F,\Bbb Z^2)$.
Mediante el cálculo de $H^2(F,\Bbb Z^2)$ en cada caso obtenemos $18$ no equivalentes extensiones, porque en $13$ de los casos la cohomology es trivial, y en tres casos se obtiene $C_2,C_2$ e $C_2\times C_2$, es decir, $5$ de posibilidades adicionales, de modo que $13+5=18$.
Este rendimientos $17$ diferentes grupos, debido a que dos de ellos resultan ser isomorfos.
