Prueba de que solo existen 17 Grupos de Fondos de Pantalla (Tilings of the plane)

Question

Yo tenía un profesor que una vez nos presentó a los papeles de los Grupos. Hay muchas referencias que existen para entender lo que son (ejemplo de la Wiki, fondo de pantalla de grupo).

El remate es

$$There \,\, are \,\, exactly \,\, 17 \,\, wallpaper \,\, groups \,\,(17 \,\, ways \,\, to \,\, tile \,\, the \,\, plane)$$

Mi pregunta es $2$veces:

1. Alguien puede esbozar la prueba o al menos dar algunas de alto nivel de ideas de por qué esto puede ser cierto?

2. Alguien puede darme el nombre de un sitio web o un libro de texto que se desarrolla la prueba en detalle?

Answer 1

Bosquejo de la prueba: Vamos a $\Gamma \le {\rm Iso}(\Bbb R^2)$ ser un fondo de pantalla de grupo. A continuación, $\Gamma$ tiene normalmente un subgrupo isomorfo a $\Bbb Z^2$ con un límite del cociente de la $F$. Este finito grupo actúa en el entramado $\Bbb Z^2$ por conjugación. Podemos obtener una representación fiel $$F \hookrightarrow {\rm Aut}(\Bbb Z^2)\cong GL_2(\Bbb Z).$$ El grupo $GL_2(\Bbb Z)$ tiene exactamente $13$ diferentes clases conjugacy de subgrupos finitos, llama la aritmética adorno clases: $$\begin{align*} C_1 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle,\; C_2 \cong \left\langle \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\rangle,\; C_3 \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \right\rangle, \\ C_4 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \right\rangle, \; C_6 \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle, \; D_1 \cong \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\rangle, \\ D_1 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\rangle, \; D_2 \cong \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\rangle, \\ D_2 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\rangle, \; D_3 \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\right\rangle, \\ D_3 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \right\rangle,\\ D_4 & \cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \right\rangle, \; D_6\cong \left\langle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\right\rangle. \end{align*}$$

Este es un sencillo cálculo. Aquí $C_1,C_2,C_3,C_4,C_6$ son cíclicos grupos y $D_1,D_2,D_3,D_4,D_6$ son diedro grupos. Utilizamos aquí, que la orden de $n$ de un subgrupo debe satisfacer $\phi(n)=deg(\Phi_n)\mid 2$, por lo que $n=1,2,3,4,6$. Este es el llamado cristalográficos de la condición. El fondo de pantalla de los grupos surgen a partir de estos $13$ clases de clases de equivalencia de extensiones $$1\rightarrow \Bbb Z^2\rightarrow \Gamma\rightarrow F\rightarrow 1,$$ determinado por $H^2(F,\Bbb Z^2)$.

Mediante el cálculo de $H^2(F,\Bbb Z^2)$ en cada caso obtenemos $18$ no equivalentes extensiones, porque en $13$ de los casos la cohomology es trivial, y en tres casos se obtiene $C_2,C_2$ e $C_2\times C_2$, es decir, $5$ de posibilidades adicionales, de modo que $13+5=18$. Este rendimientos $17$ diferentes grupos, debido a que dos de ellos resultan ser isomorfos.

Answer 2

La mejor que tengo, es este (y tengo que admitir que no es muy buena). La característica de Euler de la infinita plano es de 2.

Los miembros de la imagen de fondo del grupo tienen una notación:

632 o 4*2 o *2222

Utiliza alguna secuencia de números y los símbolos $*,\circ, \times$

Los números representan las rotaciones, $*$ representa la presencia de la reflexión, de la $\times$ representa una senda de simetría. El $\circ$ indica traducciones sin reflexiones o rotaciones.

Esta notación se sugiere un álgebra. Para cada uno de los dígitos antes de que la estrella añadimos $\frac {n-1}{n}$. La estrella de la suma 1. Para cada uno de los dígitos después de la estrella añadimos $\frac {n-1}{2n}$ o la mitad de lo que de otro modo habría que añadir.

$\times$ agrega 1, $\circ$ añade 2.

Esta suma debe ser igual a 2.

Para los grupos mencionados: $\frac {5}{6}+\frac{2}{3} + \frac {1}{2} = 2$ e $\frac {3}{4} + 1 + \frac {1}{4} = 2$ e $1+\frac 14 + \frac 14 + \frac 14 + \frac 14=2$

Con esta álgebra, podemos fuerza bruta a través de todas las posibles combinaciones de rotaciones, reflexiones, se desliza, etc.

https://en.wikipedia.org/wiki/Orbifold_notation

Sin embargo, no recuerdo que las pruebas a las que se asocian a esta álgebra para grupos.