Un contador de ejemplos en álgebra lineal (espacio vectorial)

Question

He estado estudiando álgebra lineal en los últimos años y, de hecho, también la enseñanza. Lo que hace que el aprendizaje (y enseñanza) matemáticas más interesante es encontrar ejemplos y/o contraejemplos de lo que se aprende. Como un proceso, estoy tratando de encontrar contraejemplos de conjuntos junto con dos operaciones de $+$ e $\cdot$, que vamos a llamar por el momento "adición" y "la multiplicación escalar", que no forman un espacio vectorial porque no son capaces de satisfacer exactamente uno de los axiomas de un espacio vectorial.

Si voy a la lista de los axiomas y, por tanto, la definición, se procede como sigue:-

Un conjunto $V$ junto con dos operaciones de $+: V \times V \rightarrow V$ e $\cdot: \mathbb{F} \times V \rightarrow V$, donde $\mathbb{F}$ es un campo que se llama un "espacio vectorial" sobre el campo $\mathbb{F}$ si:

1. $\forall x, y, z \in V$ tenemos $\left( x + y \right) + z = x + \left( y + z \right)$
2. $\forall x, y, \in V$ tenemos $x + y = y + x$
3. $\exists 0 \in V$ tal que $\forall x \in V$, tenemos $x + 0 = x$
4. $\forall x \in V$, $\exists y \in V$ tal que $x + y = 0$
5. $\forall x, y \in V$ e $\forall \alpha \in \mathbb{F}$, tenemos $\alpha \cdot \left( x + y \right) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot y$
6. $\forall x \in V$ e $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}$, tenemos $\left( \alpha + \beta \right) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot y$
7. $\forall x \in V$ e $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}$, tenemos $\alpha \cdot \left( \beta \cdot x \right) = \left( \alpha \beta \right) \cdot x$, donde $\alpha \beta$ indica la multiplicación de $\alpha$ con $\beta$ en el campo de $\mathbb{F}$
8. $\forall x \in V$, tenemos $1 \cdot v = v$, donde $1 \in \mathbb{F}$ es la unidad.

No es tan difícil (si no es fácil) para encontrar contraejemplos de conjuntos, de los campos y de las operaciones que satisfacer a todos, pero uno de los bienes de $1$ través $7$. Sin embargo, todavía no he sido capaz de encontrar un ejemplo que satisfacen todas las propiedades excepto $8$ y por lo tanto no puede ser un espacio vectorial. Me gustaría un poco de ayuda en la construcción de un contador de ejemplo.

Answer 1

Tome cualquier grupo abeliano no trivial $V$ y cualquier campo $\mathbb{F}$ , y defina $c\cdot v = 0_V$ para todos $c \in \mathbb{F}$ y $v\in V$ .