He estado estudiando álgebra lineal en los últimos años y, de hecho, también la enseñanza. Lo que hace que el aprendizaje (y enseñanza) matemáticas más interesante es encontrar ejemplos y/o contraejemplos de lo que se aprende. Como un proceso, estoy tratando de encontrar contraejemplos de conjuntos junto con dos operaciones de + e ⋅, que vamos a llamar por el momento "adición" y "la multiplicación escalar", que no forman un espacio vectorial porque no son capaces de satisfacer exactamente uno de los axiomas de un espacio vectorial.
Si voy a la lista de los axiomas y, por tanto, la definición, se procede como sigue:-
Un conjunto V junto con dos operaciones de +:V×V→V e ⋅:F×V→V, donde F es un campo que se llama un "espacio vectorial" sobre el campo F si:
- ∀x,y,z∈V tenemos (x+y)+z=x+(y+z)
- ∀x,y,∈V tenemos x+y=y+x
- ∃0∈V tal que ∀x∈V, tenemos x+0=x
- ∀x∈V, ∃y∈V tal que x+y=0
- ∀x,y∈V e ∀α∈F, tenemos α⋅(x+y)=α⋅x+α⋅y
- ∀x∈V e ∀α,β∈F, tenemos (α+β)⋅x=α⋅x+β⋅y
- ∀x∈V e ∀α,β∈F, tenemos α⋅(β⋅x)=(αβ)⋅x, donde αβ indica la multiplicación de α con β en el campo de F
- ∀x∈V, tenemos 1⋅v=v, donde 1∈F es la unidad.
No es tan difícil (si no es fácil) para encontrar contraejemplos de conjuntos, de los campos y de las operaciones que satisfacer a todos, pero uno de los bienes de 1 través 7. Sin embargo, todavía no he sido capaz de encontrar un ejemplo que satisfacen todas las propiedades excepto 8 y por lo tanto no puede ser un espacio vectorial. Me gustaría un poco de ayuda en la construcción de un contador de ejemplo.
