Espacios nulos y matriz invertible

Question

Si $A$ y $B$ son $n×n$ matrices, demostrar que tienen el mismo espacio nulo si y sólo si $A = UB$ para alguna matriz invertible $U$ .

Empecé la pregunta diciendo $Ax = 0$ para algún vector $x$ en $\text {null}(A)$ . Ahora estoy perdido. ¿Podría alguien ayudarme con esta pregunta? Muchas gracias.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $A=UB$ para un invertible $U$ significa que $A$ y $B$ son equivalente a la fila . Esto significa que $A$ puede obtenerse de $B$ con operaciones de fila elementales.

A continuación, recordemos que el complemento ortogonal del espacio nulo $\operatorname{Null}(M)$ de cualquier matriz $M$ es el espacio de la fila $\operatorname{Row}(M)$ . Sucintamente, esta relación se escribe como $\operatorname{Row}(M)=\operatorname{Null}(M)^\perp$ .

Ahora, en nuestra situación, tenemos dos matrices del mismo tamaño $A$ y $B$ Satisfaciendo a $\operatorname{Null}(A)=\operatorname{Null}(B)$ . Tomando complementos ortogonales se obtiene $\operatorname{Null}(A)^\perp=\operatorname{Null}(B)^\perp$ que se reduce a $\operatorname{Row}(A)=\operatorname{Row}(B)$ .

Por último, la ecuación $\operatorname{Row}(A)=\operatorname{Row}(B)$ nos dice que $\operatorname{rref}(A)=\operatorname{rref}(B)$ . Esto significa que hay matrices elementales $\{E_1,\dotsc,E_r\}$ y $\{F_1,\dotsc,F_s\}$ que satisface las ecuaciones $$E_r\dotsb E_1A = F_s\dotsb F_1 B = \operatorname{rref}(A)$$ Invertir cada matriz elemental $E_i$ y resolviendo para $A$ da $$A=E_1^{-1}\dotsb E_r^{-1}F_s\dotsb F_1B$$ Poniendo $U=E_1^{-1}\dotsb E_r^{-1}F_s\dotsb F_1$ da nuestra ecuación deseada $A=UB$ .

Answer 2

Daré una prueba que no se basa en las propiedades de la reducción de matrices (como que cada matriz tiene una única forma escalonada reducida) ya que considero que son bastante difíciles de demostrar formalmente. Sin embargo, supondré que se sabe que cada familia de vectores linealmente independientes puede extenderse a una base de todo el espacio. Además, dada cualquier base $[b_1,\ldots,b_n]$ de $F^n$ (donde $F$ es el campo de escalares con el que se trabaja), y cualquier familia $[w_1,\ldots,w_n]$ de vectores, existe un mapa lineal que envía cada $b_i$ a $w_i$ , es decir, el que envía un vector arbitrario escrito como $\lambda_1b_1+\cdots+\lambda_nb_n$ a $\lambda_1w_1+\cdots+\lambda_nw_n$ .

Tome una base $[v_1,\ldots,v_k]$ de $\def\null{\operatorname{null}}\null(A)$ y extenderlo a una base $[v_1,\ldots,v_n]$ de $F^n$ . Entonces los vectores $Av_{k+1},\ldots,Av_n$ son linealmente independientes, ya que una relación $0=\lambda_{k+1}Av_{k+1}+\cdots+\lambda_nAv_n$ implica a través de $A(\lambda_{k+1}v_{k+1}+\cdots+\lambda_nv_n)=0$ que $\lambda_{k+1}v_{k+1}+\cdots+\lambda_nv_n\in\null(A)=\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)$ que obliga a $\lambda_{k+1}=\cdots=\lambda_n=0$ desde $[v_1,\ldots,v_n]$ es una base. Del mismo modo $Bv_{k+1},\ldots,Bv_n$ son linealmente independientes, ya que $\null(B)=\null(A)$ . Ahora extienda cada una de estas familias linealmente independientes a una base de $F^n$ llamándolos respectivamente $\def\B{\mathcal B}\B_A$ y $\B_B$ . Ahora dejemos que $f:F^n\to F^n$ sea un mapa lineal que envía cada vector de la base $\B_B$ al vector correspondiente de la base $\B_A$ y que $U$ sea la matriz de $~f$ (con respecto a la base estándar). En particular, tenemos $(UB)v_i=U(Bv_i)=f(Bv_i)=Av_i$ para $i=k+1,\ldots,n$ . Pero también hay que $(UB)v_i=U(Bv_i)=Av_i$ para $i=1,\ldots,k$ ya que ambos lados son cero. Entonces las matrices $UB$ y $A$ dando los mismos resultados cuando se aplica a todos los vectores de la base $[v_1,\ldots,v_n]$ deben ser matrices iguales.

Queda por demostrar que la matriz $U$ es invertible; esto es así porque el mapa $f$ es, siendo su inversa el mapa lineal que envía cada vector de la base $\B_A$ al vector correspondiente de la base $\B_B$ .

La implicación contraria es clara, ya que $UBx=0\iff Bx=U^{-1}UBx=0$ .