El problema de la velocidad instantánea

Question

El concepto de velocidad es, por definición, el movimiento dividido por el intervalo de tiempo entre la posición inicial y la posición final.

Si $f(t)$ es la posición de una partícula en el tiempo $t$; la velocidad en el intervalo $[t_0;t_1]$ es $\dfrac{f(t_1)-f(t_0)}{t_1-t_0}$

El problema es que en un solo instante no hay movimiento y el tiempo no cambia; por lo tanto, no hay velocidad.

Puedo considerar $\lim_{t_1 \to t_0} \dfrac{f(t_1)-f(t_0)}{t_1-t_0}$, pero matemáticamente solo es el límite de la función de velocidad promedio y no representa la velocidad en el instante $t_0$

¿Cuáles son tus opiniones sobre este problema?

Answer 1

Su excelente pregunta es tan antigua como la invención del cálculo. Como señalas correctamente, la velocidad no tiene sentido si todo lo que sabes es lo que está sucediendo en ese instante de tiempo. Los físicos y matemáticos toman el límite de la velocidad promedio como la definición misma de velocidad instantánea.

Esa resulta ser una muy buena definición, ya que conduce a la física que describe con precisión el comportamiento del mundo y a las matemáticas que son coherentes, interesantes y útiles. Por lo tanto, la gente ya no se preocupa por la pregunta en la forma en que la has planteado.

Ediciones en respuesta a comentarios. Editado nuevamente (como sugiere @Polygnome) para incorporar el sentido de los comentarios también

@pjs36 Sí, realmente la pregunta se remonta a la paradoja de la flecha de Zenón. En esa página de wikipedia puedes leer

Zenón afirma que para que ocurra el movimiento, un objeto debe cambiar su posición. Da un ejemplo de una flecha en vuelo. Afirma que en un (breve) instante de tiempo, la flecha no se está moviendo ni hacia donde está ni hacia donde no está.[13] No puede moverse a donde no está, porque no pasa tiempo para que se mueva allí; no puede moverse a donde está, porque ya está allí. En otras palabras, en cada instante de tiempo no hay movimiento. Si todo está inmóvil en cada instante, y el tiempo está compuesto enteramente de instantes, entonces el movimiento es imposible.

@Max dice

En el modelo newtoniano del universo, el momento/velocidad es algo que los objetos tienen en cada instante de tiempo

No sabía eso. Quizás por eso pudo desarrollar el cálculo razonando con infinitesimales sin abordar el problema filosófico y sin una noción formal de límites. Sus suposiciones no fueron universalmente aceptadas en ese momento. El filósofo George Berkeley argumentó que

... fuerzas y gravedad, según lo definido por Newton, constituían "cualidades ocultas" que "no expresaban nada claramente". Sostuvo que aquellos que postulaban "algo desconocido en un cuerpo del cual no tienen idea y al cual llaman principio del movimiento, en realidad están simplemente afirmando que el principio del movimiento es desconocido."

( https://en.wikipedia.org/wiki/George_Berkeley#Philosophy_of_physics )

@leftaroundabout Estoy de acuerdo en que el momento es una mejor noción fundamental que la velocidad (ciertamente para la mecánica cuántica, posiblemente también para la newtoniana). Sin embargo, no creo que sea mejor comenzar el cálculo allí.

@Hurkyl señala correctamente que hay nuevas estructuras matemáticas - gérmenes - que capturan la idea de lo que sucede cerca pero no en un punto. Pero creo que la idea del germen de una función es más técnica y abstracta de lo que se requiere en la pregunta.

Answer 2

¿Tienes una noción previa de "velocidad instantánea"?

No, no tengo una noción previa de velocidad instantánea

La cantidad definida por el límite es muy útil. Por lo tanto, necesita un nombre. "Velocidad instantánea" es una frase lo suficientemente precisa como para hacerla una buena elección de nombre.

Sí, tengo una noción previa de velocidad instantánea

Luego procede en tres pasos:

• Definirlo. (o darse cuenta de que es un concepto difícil de definir)
• Darse cuenta de que la velocidad instantánea está 'cerca' de la velocidad promedio en cortas duraciones
• Formalizar el significado de la declaración anterior, concluyendo que la velocidad instantánea es igual al límite establecido.

Answer 3

Mis pensamientos:

Esto es algo muy común en matemáticas. Tenemos un concepto que es natural y que estamos acostumbrados a usar, pero cuando realmente intentas definirlo cuidadosamente en todas las situaciones, la definición simple no funciona en general.

Otro ejemplo es el área. El área de un rectángulo se define fácilmente y se entiende (largo por ancho). Pero ¿qué pasa con el área de un círculo o una elipse, o entre una parábola y una cuerda? ¿Cómo defines exactamente esas áreas? No es cuestión de simplemente decir "el área de un círculo es $\pi r^2$". Después de todo, si vamos a llamar a una fórmula la definición, ¿por qué usar $\pi$? ¿Por qué no simplemente decir "el área de un círculo es $3r^2$"? La razón obvia es: $3$ no funciona. $\pi$ sí.

Y ahí está la pista: no queremos solo cualquier definición de área. Queremos una definición que satisfaga ciertas propiedades útiles, especialmente la propiedad de que si divides una forma en partes, la suma de las áreas de las partes debe ser igual al área total, y la propiedad de que si una forma está contenida dentro de otra, su área es menor o igual al área de la otra. Combinamos esto con un truco que Eudoxus nos enseñó hace mucho tiempo: ¡Si hay solo un número que funciona, ¡ese es el número que quieres! Un círculo de radio $r$ no puede tener un área mayor que $\pi r^2$ porque para cualquier valor mayor, podemos cubrir el círculo con un montón de rectángulos cuya área total es menor que ese valor. Entonces el área del círculo debe ser aún menor. Y para cualquier valor menor que $\pi r^2$, podemos encontrar un montón de rectángulos no superpuestos dentro del círculo cuya área total es mayor que ese valor, por lo que el área del círculo también tiene que ser mayor. $\pi r^2$ es el único valor que funciona. Entonces definimos el área del círculo como $\pi r^2$.

Observaciones similares se aplican a la velocidad instantánea. La definición simple de velocidad falla en un solo punto. Pero si asumimos que el concepto tiene sentido, y decidimos que queremos que tenga la propiedad de que cuando el intervalo de tiempo se reduce, la velocidad promedio se aproxime a la velocidad instantánea, entonces para la mayoría de las funciones de distancia de interés, descubrimos que efectivamente solo hay un valor al que se aproximan las velocidades promedio sobre intervalos de tiempo cada vez más pequeños. Cualquier otro valor se aproxima por un tiempo, pero a medida que el intervalo se reduce más, la velocidad promedio comienza a alejarse de esos valores en lugar de acercarse a ellos. Así que le damos un guiño a Eudoxus de nuevo y definimos la velocidad instantánea como el valor al que siempre se aproxima. (Si nuestras velocidades no se acercan a un valor único, entonces no definimos una velocidad instantánea para tales funciones de distancia en absoluto.)

La definición que usamos para la velocidad instantánea es como es porque es el único valor que tiene sentido para el concepto.

Answer 4

Su primera ecuación es la velocidad promedio, eso es lo que realmente podemos medir con instrumentos físicos, la segunda es la velocidad instantánea que es un concepto ideal (como todo definido como un límite) y no puede ser realmente medido en nuestro mundo natural, por lo que es solo un objeto matemático (un límite, una derivada) en el mismo sentido que las esferas u otros objetos geométricos no existen en nuestro mundo físico, solo podemos construir esferas "imperfectas" (en un sentido platónico).

Answer 5

Como otros han señalado, esta es realmente una pregunta filosófica.

Como físico, no tengo problema con que no haya diferencia de tiempo en un "instante", porque acepto que la razón de dos cantidades iguales a cero puede ser finita.

Sin embargo, para que el concepto sea matemáticamente sólido, podemos tomar:

• Enfoque estándar: Definir la velocidad instantánea como el límite de la velocidad promedio a medida que el intervalo de tiempo se reduce a cero.

• Enfoque de análisis infinitesimal suave: El continuo no está compuesto por puntos, sino por segmentos infinitesimalmente pequeños. Entonces, los "instantes" de tiempo no existen, solo hay intervalos de tiempo infinitesimalmente cortos, y desaparece el problema de que la partícula no se mueva.