Primero, vamos a considerar el número de posibles inglés frente a no-inglés atrae. Ponemos los 4 equipos en la bolsa de $X$, con otros 4 equipos en la bolsa de $Y$. El número de sorteos es simplemente el número de bijections de $X$ a $Y$,
$n_0 = 4! = 24$
(Esta es, precisamente, como la combinación de los 8 ganadores de grupo con 8 grupo de corredores en los 1/16 CL empate, el que los rendimientos de $8!$ posibilidades, sin otras limitaciones, como la ausencia del mismo país no del mismo grupo de enfrentamientos permitido).
Siguiente, tenemos que encontrar un número total de posibles sorteos para $2 n = 8$ equipos.
Forma 1
- Ponemos 4 equipos en una bolsa y el resto de los 4 equipos en otra bolsa, en uno de $\displaystyle k = {8 \choose 4}$ maneras.
- Conectamos los equipos de ambas bolsas, como hicimos en el principio, en $m = 4!$ formas posibles.
- El problema es que cada pareja aporta el doble, pero el orden dentro de un par debería ser irrelevante [$(12) \equiv (21)$], y no se $4$ pares, por lo que hemos sobrepasado $l = 2^4$ veces.
- Por último, el número total de sorteos es $\displaystyle N = \frac{k}{l m} = \displaystyle \frac{8!}{2^4 4!} = 105$.
Manera 2
- Empezamos con $k = (2 n)! = 8!$ permutaciones de $2 n = 8$ equipos de la $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ conjunto.
- Cada permutación se compone en realidad de $n = 4$ pares, cada par, por ejemplo, $(12)$, correspondiente a un juego.
- El orden dentro de los pares es irrelevante, por ejemplo, $(12)\ldots \equiv (21)\ldots$. Cada par contribuye un factor de $2! = 2$ a la permuations número, así que ya hemos sobrepasado $l = 2^n = 2^4$ veces.
- Par de permutaciones no cambiar el empate, por ejemplo, $(12)(34)\ldots \equiv (34)(12)\ldots$, por lo que hemos además sobrepasado $\displaystyle m = n! = 4!$ veces.
- Por último, el número total de sorteos es $N = \displaystyle \frac{k}{l m} = \frac{8!}{2^4 4!} = 105$.
La próxima, vamos a ver nuestra expresión general para el número total de sorteos,
$N(n) = \displaystyle \frac{(2 n)!}{2^n n!}$,
para los dos casos simples:
- $n = 1$ (final de empate de $\{1, 2\}$ equipo), las permutaciones posibles: $(12)$, $N(1) = 1$, se ve bien.
- $n = 2$ (semi-final de empate de $\{1, 2, 3, 4\}$ equipo), las permutaciones posibles: $(12)(34)$, $(13)(24)$, e $(14)(23)$, $N(2) = 3$, se ve bien también.
$N(n)$ crece rápido con n:
| n | N(n)
----------
| 1 | 1
| 2 | 3
| 4 | 105
| 8 | 2027025
Por último, volviendo a la pregunta principal:
- la probabilidad de que ningún inglés-inglés choque después de que el empate es lo $\displaystyle p_2 = \frac{n_0}{N(4)} = \frac{8}{35} \approx 0.23$.
- la probabilidad de que al menos uno inglés-inglés juego es $\displaystyle p_1 = 1 - p_2 = \frac{27}{35} \approx 0.77$.
En Parcly Taxel la respuesta el número de todos los sorteos, dado como $(2 n)!$es, en realidad, enchufe de pesca, pero la sobrerreacción cancela en la división (por ser un hombre de baja reputación, que no puedo comentar debajo de la respuesta).
Espero que esto sea correcto, y espero que el Ajax gana este año CL.
