Deje $X$ e $Y$ ser variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad. Si $$\def\E{\mathbb E}\E[X^nY^m]=\E[X^n]\,\E[Y^m]<\infty $$ for all integers $n,m\ge 0$, does it follow that $X$ and $$ Y es independiente?
Tengo la fuerte sospecha de que la respuesta es no. De la misma manera que la de una variable aleatoria no está determinado por sus momentos, un vector aleatorio no está determinado por su articulación momentos. He mirado en varias contra-ejemplos de distintas variables aleatorias con la misma momentos, que he encontrado aquí. Los ejemplos son derivados por mirar funciones características, pero no estoy seguro de si se pueden generalizar para multivariante funciones características.
Esta pregunta muestra que $\E[f(X)g(Y)]=\E[f(X)]\,\E[g(Y)]$ para todos los acotada y continua $f$ e $g$ implica $X$ e $Y$ son independientes. Mi pregunta es si queremos obtener el mismo resultado cuando restringimos $f$ e $g$ a ser polinomios.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Respuesta actualizada
La respuesta es "depende". Ver este MO pregunta, y las referencias que en él figuran, en particular, este SE pregunta. La última referencia de demandas que, bajo ciertas hipótesis sobre el tamaño de los momentos.
Vinculado respuesta por Iosif Pinelis, copiado textualmente, para hacer este post autónomo (no es mi propio trabajo!)
La respuesta es no. De hecho, vamos a $X:=\xi$ e $Y:=\eta$. Deje $U$ e $V$ ser cualquier independientes de variables aleatorias (r.v.'s) con distribuciones diferentes pero con el mismo finito momentos de todos los pedidos: $$EU^m=EV^m=:\mu_m$$ natural de todos los $m$. Un ejemplo estándar de la distribución de tales r.v.'s $U$ e $V$ se da en la respuesta por el saz.
Deje que la función de distribución acumulativa (cdf) $F_{X,Y}$ del azar par $(X,Y)$ ser la mitad-y-mitad de la mezcla de la cdf $F_{U,V}$ e $F_{V,U}$, por lo que \begin{equation*} F_{X,Y}(x,y)=\frac{F(x)G(y)+G(x)F(y)}2 \tag{1} \end{ecuación*} para todos los verdaderos $x,y$, donde $F$ e $G$ son el cdf de $U$ e $V$, respectivamente. A continuación, para el cdf $F_X$ e $F_Y$ uno ha $F_X=F_Y=\frac{F+G}2$ y por lo tanto \begin{equation*} 4[F_X(x)F_Y(y)-F_{X,Y}(x,y)]=[F(x)-G(x)][F(y)-G(y)]\ne0 \end{ecuación*} para algunos de los verdaderos $x,y$, por lo que $X$ e $Y$ no son independientes.
Sin embargo, \begin{equation*} EX^mY^n=\tfrac12\,EU^m\, EV^n+\tfrac12\,EV^m\,EU^n=\mu_m\mu_n=EX^m\,EY^n \tag{2} \end{ecuación*} natural de todos los $m,n$.
Respuesta anterior, a la izquierda, ya que siento que se da, al menos, un no-cero cantidad de insight
No estoy seguro de si esto debe ser publicado como una respuesta o un comentario, como ciertamente no es completa. Dicho esto, me fui para la "respuesta" de la gente, como debe ser capaz de comentar de manera explícita en que, estando de acuerdo, en desacuerdo o simplemente comentando en general.
Creo que si uno se restringe a las variables aleatorias con soporte compacto, entonces puede ser cierto. (No tengo completa la prueba! -- por otra parte, me gustaría quitar el "puede".) Por Stone-Weierstrass, uno puede bien aproximado cualquier continua, acotada función en un intervalo compacto por una secuencia de polinomios. Mediante la inspección de la prueba en las vinculadas pregunta, parece que uno puede muy bien ser capaz de aplicar dos límite argumento. El problema, sin embargo, es que uno no tiene la monotonía de convergencia.
En particular, uno ha de aproximar $1(\cdot \in I)$, para un acotado, el intervalo de abrir $I$. Si el soporte de la variable aleatoria es $S \subseteq \mathbb R$ e es compacto (o más bien un subconjunto de un conjunto compacto), entonces se puede extender $S$ ' $1$' para $S'$ -- si $S = [a,b]$, y luego mirar a$S' = [a-1, b+1]$ -- y aproximados $1(\cdot \in I)$ a $S'$. Esto puede ayudar a aplicar los límites, como la aproximación de polinomios bien puede ser un mejor comportamiento.
Espero que esta respuesta es al menos vagamente interesante!
