Pregunta sobre fracciones parciales con factores cuadráticos irreducibles

Question

Dada esta función racional: $$\frac{-4x^4-2x^3-26x^2-8x-44}{(x+1)(x^2 +3)^2}$$ La descomposición sería así: $$\frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{(x^2+3)} + \frac{Dx+E}{(x^2+3)^2}$$

Y la respuesta final sería: $$\frac{-4}{x+1} - \frac{2}{(x^2+3)} - \frac{2}{(x^2+3)^2}$$

Pero, si lo configuraras así: $$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x^2+3)} + \frac{C}{(x^2+3)^2}$$ Se termina con la misma respuesta: $$\frac{-4}{x+1} - \frac{2}{(x^2+3)} - \frac{2}{(x^2+3)^2}$$

Quiero saber por qué es esto.

Pensaba que para los factores cuadráticos irreducibles se necesitaba un término lineal en el numerador. ¿Es una pura coincidencia que haya funcionado con términos constantes en el numerador?

Answer 1

Las cinco funciones $$f_1(x)=\frac{1}{x+1},\; f_2(x)=\frac{x}{x^2+3}, \; f_3(x)=\frac{1}{x^2+3},\; f_4(x)=\frac{x}{(x^2+3)^2}, \; f_5(x)=\frac{1}{(x^2+3)^2}.$$ es una base que genera linealmente todas las funciones racionales de la forma $$\frac{P(x)}{(x+1)(x^2 +3)^2}$$ donde $P$ es CUALQUIER polinomio de grado $\leq 4$ .

En su caso, simplemente tenemos que en la representación vectorial de la función dada las coordenadas relacionadas con $f_2$ y $f_4$ son cero. Así que, sí, esto es una pura coincidencia.

Answer 2

Estoy de acuerdo con las otras respuestas en que en cierto sentido es una coincidencia, pero no diría que es sólo una coincidencia. Si esto viene de un libro de texto, entonces el autor del libro de texto comenzó con la respuesta, que resulta tener términos constantes. Si el libro en cuestión es un libro de texto de cálculo y la intención del problema es integrar la función original haciendo una descomposición de fracciones parciales, entonces el problema probablemente fue amañado de antemano para que ni el álgebra ni la integración posterior sean demasiado onerosos para un problema de tarea. Estas consideraciones sesgan los problemas, de modo que las soluciones con numeradores constantes aparecen en los libros de texto con más frecuencia de lo que cabría esperar. Si se considera como un problema de ingeniería inversa de un problema de libro de texto (o de examen), una solución razonable heurística podría ser ver primero si hay una solución con términos constantes, y sólo si esa heurística falla, buscar una solución más general. Un peligro de seguir esa heurística es que un calificador podría, no obstante, penalizarle, ya que la mayoría de los estudiantes que utilizan esa heurística no entienden que es sólo una heurística.

Answer 3

Yo lo consideraría una coincidencia.

$$\frac{-4x^4-2x^3-26x^2-8x-4\mathbf{5}}{(x+1)(x^2 +3)^2},$$

por ejemplo, requiere el término lineal.

Answer 4

En la primera expansión B = D = 0, pero con una pregunta diferente pero similar eso no necesariamente ocurriría.

Puedo dar un ejemplo fácilmente empezando con los valores de A = B = C = D = E = 1, trabajando hacia atrás hasta llegar a una nueva pregunta que no tendrá la propiedad de coincidencia que tiene la tuya.

Esta es la nueva pregunta:

$$\frac{2x^4+2x^3+11x^2+8x+44}{(x+1)(x^2 +3)^2}$$ La descomposición tendrá, como antes, el siguiente aspecto: $$\frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{(x^2+3)} + \frac{Dx+E}{(x^2+3)^2}$$ y con los valores sustituidos, $$\frac{1}{x+1} + \frac{x+1}{(x^2+3)} + \frac{x+1}{(x^2+3)^2}$$ Robert Z ha añadido una respuesta clara que va más allá y examina la teoría subyacente.

Por cierto, el programa gratuito en línea Wolfram Alpha es muy útil para jugar con este tipo de expresiones y te permitirá comprobar tus respuestas de las preguntas de fracciones parciales.

Enlace https://www.wolframalpha.com/