¿Existe una motivación intuitiva para el producto cuña en geometría diferencial?

Question

Recientemente he empezado a estudiar las formas diferenciales y he estado estudiando las formas diferenciales. Me cuesta entender la motivación para introducir la noción de producto cuña. ¿Surge simplemente al generalizar la noción de " superficie/volumen firmado " en espacios de mayor dimensión, ¿o hay un razonamiento más profundo detrás?

Si sólo se trata de una generalización de un " superficie/volumen firmado "en espacios dimensionales superiores, entiendo que el "área" que abarcan dos vectores tangentes $X,Y$ viene dado por el producto cuña entre sus formas diferenciales asociadas. Así, en una dimensión, si tenemos una forma única $\omega$ expresado en una base de coordenadas local como $\omega =f_{i}(x)dx^{i}$ entonces $$\omega\wedge\omega = f_{i}(x)f_{j}(x)dx^{i}\wedge dx^{j}$$ y entonces a partir de esto, si X=Y, entonces el "área" abarcada por ellos debe ser cero y así, $$\omega\wedge\omega (X,X)=0=f_{i}(x)f_{j}(x)dx^{i}(X)\wedge dx^{j}(X)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \quad\;\;=\frac{1}{2}\left[f_{i}(x)f_{j}(x)dx^{i}(X)\wedge dx^{j}(X)+f_{j}(x)f_{i}(x)dx^{j}(X)\wedge dx^{i}(X)\right]$$ y esto implica que $$dx^{i}(X)\wedge dx^{j}(X)=-dx^{j}(X)\wedge dx^{i}(X)$$ No sé si lo que he entendido es correcto o no.

Answer 1

Tu suposición es correcta, al igual que tu conclusión de que el producto cuña es antisimétrico. Un ejemplo concreto que demuestra que ésta es la motivación correcta es el caso de un producto de cuña entre dos formas únicas en una variedad de Riemann tridimensional. En ese caso, si $\omega_1$ es la forma única correspondiente a un vector $v_1$ et $\omega_2$ el correspondiente a $v_2$ entonces el dual de Hodge $\star \omega_1\wedge \omega_2$ corresponde al producto cruzado $v_1\times v_2$ . Es un resultado básico en álgebra lineal que este último producto es un elemento de área con signo.

Si lo anterior te parece críptico (que ciertamente lo es, si estás empezando,) el punto básico es que en una variedad Riemanniana tridimensional existe un isomorfismo natural entre las formas dos y una (esta es la forma $\star$ mapa de arriba).