Estratificaciones por subvariedades suaves

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Entonces $X$ se dice que tiene una estratificación si se pueden encontrar subconjuntos irreducibles localmente cerrados $X_i\subset X$ tal que $X=\coprod X_i$ y siempre que $\overline X_i$ se cruza con $X_j$ uno tiene $\overline X_i\supseteq X_j$ .

Pregunta : ¿Toda variedad algebraica $X$ tiene una estratificación por suave ¿subvariedades?

Para demostrar que la respuesta es afirmativa (cosa que creo, pero no sé), intenté jugar con el locus suave de las componentes irreducibles, tomando el interior y demás, pero siempre parecía salir algo posiblemente singular al final.

Si hay alguna hipótesis hay que añadir $X$ para obtener una respuesta afirmativa, o si hay que relajar un poco la definición de estratificación, eso también me sería muy útil.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Para eliminar esta pregunta de la lista de las no contestadas, aquí está la respuesta que sale de los comentarios.

Dejemos que $X_1=X^{sm}$ sea el lugar liso, que es abierto y denso en $Y_0:=X$ que suponemos reducida. Consideremos el subconjunto cerrado $Y_1=Y_0\setminus X_{1}$ , tomar el denso abierto $X_2=Y_1^{sm}\subset Y_1$ y además $Y_2=Y_1\setminus X_2$ que está cerrado en $X$ también. La cadena de subconjuntos cerrados $(Y_i)$ se estabiliza por la noeterianidad de $X$ y ninguno de los subconjuntos abiertos $X_i\subset Y_{i-1}$ es vacío, porque el lugar liso de una variedad es siempre denso. Por lo tanto, finalmente $X=\coprod X_i$ .