¿Por qué es$f'(x)= 0$ pero$f$ no es una función constante?

Question

Deje $f(x) := \arctan(x) + \arctan(1/x)$. Entonces \begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{(\frac{1}{x})^2 + 1}\cdot \frac{-1}{x^2} \\ &= \frac{1}{x^2 + 1} + \frac{-1}{x^2 + 1} \\ &= 0 \end{align*}

lo que quiere decir que $f$ es una función constante. Sin embargo, esto es falso. Si $x>0$, $f(x) = \pi/2$, y si $x<0$, $f(x) = -\pi/2$. Esta aparente contradicción tiene probablemente que ver con el hecho de que $f$ no está definido en $x=0$. Pero donde hace exactamente el razonamiento romper?

Esto lo vi en esta pregunta (hilo de comentarios de un tiempo hacia abajo, buscando arctan debe encontrar).

Answer 1

No es cierto que $f'(x)=0$ implica $f$ es constante para las funciones de $f$ con un dominio arbitrario. Esta implicación es válida sólo si el dominio es un intervalo. Desde el dominio de la función es $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$, se puede concluir que $f$ es constante en cada uno de esos intervalos, pero no necesariamente que es constante en su unión (es decir, la que toma el mismo valor constante en cada uno de ellos).

De hecho, más en general, dado cualquier constantes $c$$d$, se puede definir una función de $g(x)$ $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ $g(x)=c$ si $x<0$ $g(x)=d$ si $x>0$. A continuación, $g'(x)=0$ todos los $x$ en el dominio de $g$, pero $g$ no es constante (a menos $c=d$).

Answer 2

La función se puede reescribir como$$f(x) = \begin{cases} \pi/2 & \text{ if }x > 0\\ -\pi/2 & \text{ if }x < 0\end{cases}$ $ El derivado se define solo para$x \neq 0$. En$x=0$, la función ni siquiera es continua, ya que$\lim_{x \to 0^+}f(x) = \pi/2$ y$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\pi/2$. Por lo tanto, de hecho, tenemos ese$$f'(x) = 0 \text{ only when }x \neq 0$ $

Answer 3

No

PS