Cómo probar una desigualdad

Question

Soy principiante con pruebas y tengo el siguiente ejercicio:

Demuestre la desigualdad$$(a + b)\Bigl(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}\Bigr) \ge 9$$ when $ a> 0$ and $ b> 0 $. Determinar cuándo se produce la igualdad.

Estoy perdido, ¿podrían ustedes darme una sugerencia de dónde empezar, o tal vez mostrar un buen recurso para principiantes en pruebas?

Gracias por adelantado.

Answer 1

La primera cosa a hacer es simplificar la expresión en el lado izquierdo de la desigualdad.

$$(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}\right)=\frac{(a+b)(4a+b)}{ab}=\frac{4a^2+5ab+b^2}{ab}=\frac{4a}b+5+\frac{b}a\;.$$

Ahora observe que la expresión resultante contiene $\frac{a}b$$\frac{b}a$; esto es un indicador de que se podría simplificar a introducir una nueva cantidad, $x=\frac{a}b$, y la reescritura de la desigualdad como $$4x+5+\frac1x\ge 9\;,$$ or $$4x+\frac1x\ge 4\;.\tag{0}$$

La cosa más natural que hacer ahora es multiplicar por $x$ a deshacerse de la fracción, pero tenga cuidado: debido a que esta es una desigualdad, el signo de $x$ es importante. Si $x\ge 0$ obtenemos $4x^2+1\ge 4x$ o $4x^2-4x+1\ge 0$, pero si $x<0$ obtenemos $4x^2+1\le 4x$ o $4x^2-4x+1\le 0$. En ambos casos, sin embargo, reconocemos que $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$, por lo que sea $$x\ge 0\quad\text{and}\quad(2x-1)^2\ge 0\tag{1}$$ or $$x<0\quad\text{and}\quad(2x-1)^2\le 0\;.\tag{2}$$

Ahora $(2)$ es imposible: $(2x-1)^2\le 0$ si y sólo si $(2x-1)^2=0$, en cuyo caso $2x=1$, $x=\frac12$, y $x\not<0$. Por lo tanto, cualquier solución debe venir de $(1)$: $x>0$, y $(2x-1)^2\ge 0$. Si $2x\ne 1$,$2x-1\ne0$, lo $(2x-1)^2>0$, y tenemos una solución. Si $2x=1$,$x=\frac12>0$$(2x-1)^2=0\ge0$, y de nuevo tenemos una solución. En resumen, cada positivos $x$ es una solución, no el negativo $x$ es una solución, y $x$ puede no ser $0$. (¿Por qué no?) En realidad podríamos haber descubierto esto mirando más de cerca a $(0)$, pero uno no siempre tiene por lo agradable de una desigualdad.

¿Qué significa esto en términos de$a$$b$? Recordemos que $x=\dfrac{a}b$; por lo tanto, $x>0$ si y sólo si $\dfrac{a}b>0$, lo cual es cierto si y sólo si $a$ $b$ tienen el mismo signo algebraico: ambos son positivos o ambos negativos. Ya que nos habían dicho que ambos son positivos, sabemos que la desigualdad se cumple para todos los $a$ $b$ en el dominio dado.

Por último, tenemos la igualdad en $(0)$ si y sólo si $4x^4-4x+1=0$ o $(2x-1)^2=0$, es decir, si y sólo si $x=\frac12$. Desde $x=\frac{a}b$, lo que equivale a $\frac{a}b=\frac12$ o $b=2a$.

Answer 2

Recordando la Bunhiacopski la desigualdad $$ (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2 \leq (a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2).$$ Aplicando la desigualdad anterior con $n=2$, $a_1=\sqrt{a}, a_2=\sqrt {b}$, $b_1=1/\sqrt{a}, b_2=2\sqrt{b}$ obtenemos $$ 9=(1+2)^2=(a_1b_1+a_2b_2)^2\leq(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\right). $$ Mediante el uso de los argumentos similares se deduce una generalizado de la desigualdad $$ (a_1+a_2+\ldots+a_n)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{2^2}{a_2}+\ldots+\frac{n^2}{a_n}\right)\geq \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4} $$ para todos los números reales positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$.

Answer 3

Si está familiarizado con Cauchy-Schwarz, esta es una consecuencia inmediata:

PS

Answer 4

Podemos jugar con la desigualdad: supongamos que es cierto que por ahora, y realizar una serie de reversible pasos y ver lo que la desigualdad implicaría. Así que empezamos por la multiplicación de todo, lo que da:

$1 + 4 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{4a}{b} \geq 9 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} + \dfrac{4a}{b} \geq 4$. (1)

Ahora, cuando se trabaja con las desigualdades que hay algunos de los resultados más comunes que utiliza; uno de estos es el AM-GM de la desigualdad que establece:

$x + y \geq 2\sqrt{xy}$,

donde $x$ $y$ son no negativos. (Plaza de los dos lados y recoger los términos a un lado para ver por qué esto es cierto).

Dejando $x = b/a$ $y = 4a/b$ de los rendimientos que

$\dfrac{b}{a} + \dfrac{4a}{b} \geq 2\sqrt{\dfrac{b}{a}\cdot \dfrac{4a}{b}} = 2\sqrt{4} = 4$,

que es lo que queríamos mostrar en la línea (1).

Ya podemos invertir todos nuestros pasos (hemos ampliado y se resta 5; para revertir esta añada 5 y, a continuación, factor), nos han demostrado que la desigualdad original. (Nota: una formal solución sería empezar con esta última línea y el trabajo "hacia arriba".)

Answer 5

Los rendimientos de álgebra simple $$ 1+ \ frac {4a} {b} + \ frac {b} {a} +4 = 5 + \ frac {4a} {b} + \ frac {b} {a} $$ Si$a \geq b $ entonces la desigualdad es obvia. El segundo caso es un poco más complicado. La desigualdad entonces se reduce a probar que (escribiendo$0<\frac{a}{b}=\epsilon<1$) $$ 4 \ epsilon ^ 2-4 \ epsilon +1 \ geq 0 $$, que se aplica a todos los$\epsilon$ y la igualdad es de$2a=b$.