esta pregunta puede ser un poco descuidado de mi parte, pero voy a hacer de todos modos, recientemente me han fascinado por la idea de que la superficie de una burbuja de jabón película restringido a un límite será el fin de minimizar el área de superficie, y he estado pensando si no hay un equivalente cosa para una curva en $\mathbb{R}^2$, por eso me refiero a algo como dado un conjunto finito de puntos, que van a trabajar como si estuvieran en el límite de la tridimensional caso, para encontrar una curva que se minimice la longitud de arco de la ruta.
Me doy cuenta de que, dado que la menor distancia entre dos puntos es una línea recta y debido a que la curva tiene que pasar a través de un conjunto de puntos, la comparación de la longitud de las secciones de las posibles curvas entre dos puntos y continua de dos por dos puntos, hasta el último, cada vez que la línea recta que va a ganar en menos de longitud, y así una interpolación lineal será la curva con menos longitud de arco, pero dado que la interpolación lineal en la mayoría de los casos producen un camino que no es diferenciable en un conjunto determinado de puntos, pensé entonces en la limitación de este curvas por sólo diferenciables, pero sospecho que sólo la diferenciabilidad no es suficiente para garantizar la existencia de una curva, para que yo pueda tomar la interpolación lineal de la curva, vamos a llamar a $f(x)$ y pasarlo a través de un "la diferenciabilidad de filtro", tales como :
$$\frac{1}{2\varepsilon}\int^{x+\varepsilon}_{x-\varepsilon}f(t)dt = g_{\varepsilon}(x)$$
y la función de $g_\varepsilon(x)$ será igual a la función de $f(x)$ fuera de abrir bolas de radios $\varepsilon$ de los puntos de no-la diferenciabilidad y como $\varepsilon$ puede hacerse tan pequeña como quería que probablemente significa que no hay límite inferior dentro del conjunto de funciones diferenciables.
Así que en lugar de sólo requerir la diferenciabilidad y un mínimo de longitud de arco si fue la solicitud de que la función de la clase de $C^\infty$ y tener un mínimo de longitud de arco, ¿existe una solución ? y si es así, ¿hay algún tipo de interpolación que logra precisamente eso ? o al menos ¿hay algún tipo de interpolación que comparte algún tipo de vínculo con la película de la burbuja de jabón en el árbol de dimensiones por lo anterior, algo así como menos de curvatura o de otras propiedades? porque se siente como si debería existir!
