Las proyecciones sobre la esfera de Riemann son antipodales

Question

Demostrar que dados dos puntos $z,w\in\mathbb{C}$ tenemos que sus proyecciones sobre la esfera de Riemann son antípodas si y sólo si: $z\bar{w}=-1$ .

Answer 1

Por supuesto, podríamos calcularla utilizando la fórmula explícita de la proyección estereográfica. Pero vamos a argumentar geométricamente.

Dejemos que $z \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ y $\zeta$ la imagen de $z$ en la esfera bajo proyección estereográfica. Sea $C$ sea el gran círculo de la esfera que pasa por $\zeta$ y el polo norte y sur.

Dejemos que $\varphi$ sea el ángulo entre el plano y la línea que une $z$ con el polo norte $N$ . Como el radio de la esfera es $1$ la distancia de $z$ desde la intersección del plano con el eje de la esfera (es decir, $0 \in \mathbb{C}$ ) es $\cot \varphi$ es decir $\lvert z\rvert = \cot \varphi$ .

La línea que conecta $\zeta$ y su punto antipodal $\alpha := -\zeta$ es un diámetro de $C$ por lo que, por el teorema de Tales, el triángulo $\alpha N\zeta$ tiene un ángulo recto en $N$ . $\angle z 0N$ es un ángulo recto, por lo tanto $\angle 0N\zeta = \angle 0Nz = \frac{\pi}{2}-\varphi$ y por lo tanto $\angle 0N\alpha = \varphi$ . Pero eso significa que la línea $N\alpha$ intercepta el plano a una distancia de $\tan\varphi$ de $0$ En el lado opuesto de $z$ y eso significa que el punto proyectado a $\alpha$ es $$w = -\frac{z}{\lvert z\rvert^2},$$

de donde $z\overline{w} = -1$ .

Por el contrario, si $z\overline{w} = -1$ y $w$ se prevé que $\beta$ en la esfera, entonces $\lvert w\rvert = \tan \varphi$ De ahí que $\angle \beta N0 = \varphi$ y como $w$ (y $\beta$ ) se encuentran en el lado opuesto de $0$ de $z$ tenemos

$$\angle \beta N\zeta = \angle \beta N0 + \angle 0N\zeta = \varphi + \left(\frac{\pi}{2} - \varphi\right) = \frac{\pi}{2},$$

y por Tales, el segmento de línea que une $\beta$ y $\zeta$ es un diámetro del gran círculo $C$ Por lo tanto $\beta = -\zeta$ es el punto antípoda de $\zeta$ .

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Analíticamente, con las fórmulas explícitas de la proyección estereográfica

$$\begin{align} \varphi \colon z = x+iy &\mapsto \left(\frac{2x}{x^2+y^2+1},\,\frac{2y}{x^2+y^2+1},\,\frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1} \right)\\ \varphi^{-1} \colon (\alpha,\,\beta,\,\gamma) &\mapsto \frac{1}{1-\gamma}(\alpha + i \beta) \end{align}$$

obtenemos que el punto que se proyecta al punto antípoda de $z$ La proyección de la empresa es

$$\begin{align} w &= \varphi^{-1} \left(\frac{-2x}{x^2+y^2+1},\,\frac{-2y}{x^2+y^2+1},\, \frac{1-x^2-y^2}{x^2+y^2+1}\right)\\ &= \frac{x^2+y^2+1}{2(x^2+y^2)}\frac{-2(x+iy)}{x^2+y^2+1}\\ &= \frac{-(x+iy)}{x^2+y^2}\\ &= -1/\overline{z}. \end{align}$$

Answer 2

Por puntos $z$ , $w\in{\mathbb C}$ con proyecciones estereográficas antipodales a $S^2$ el triángulo con vértices $z$ , $N$ , $w$ tiene un ángulo recto en $N$ . Por un teorema pitagórico ("Höhensatz") se deduce que $$|z|\>|w|=1^2\ .\tag{1}$$ Además, mirando la situación desde lo alto de la $x_3$ -vemos que $$\arg(w)=\arg(z)+\pi\ \tag{2}$$ Las ecuaciones $(1)$ y (2) juntos implican fácilmente $z\>\bar w=-1$ .