¿Por qué es $\underbrace {i^{i^{i^{.^{.^{.^{i}}}}}}}_{n \ times}$ ¿convergencia?

Question

Introducción:

Hace poco me enteré de que $i^i \approx 0.20788$ no tiene ninguna parte imaginaria. Me interesé y luego quise saber si hay otras $n$ para lo cual $\underbrace {i^{i^{i^{.^{.^{.^{i}}}}}}}_{n \ times}$ no tiene ninguna parte inaginaria.

Así que escribí este script de python (Soy un principiante en python, podría ser un código muy malo :) que trama lo que yo llamo el $i-Tower\ up\ to\ n = 100$ . Se ve así:

Pregunta:

Utilicemos esta convención: ${}^ni = \underbrace{i^{i^{i^{.^{.^{.^{i}}}}}}}_{n \ times}$ .

• ¿Por qué la secuencia ${}^ni\ |\ n \in \mathbb{N}$ ¿convergencia?

${}^{20}i \approx 0.48770 + 0.41217i$

${}^{60}i \approx 0.437584 + 0.360535i$

${}^{100}i \approx 0.43829+ 0.36059i$

Lo que ya he notado es que el ángulo entre las líneas que se pueden dibujar de ${}^ni$ en ${}^{n+1}i$ a ${}^{n+2}i$ es $<90°$ .

• ¿Es ese ángulo igual para todos $n$ ?

• ¿Hay alguna manera de dar el valor exacto de $x = {}^ni \ $ con $\ {n \rightarrow \infty}$ ?

• ¿Cuál es la relación entre $i$ y $x$ . Es $x$ ¿un número complejo especial que quizá ya se conozca o aparezca en otros lugares?

Answer 1

• La torre de potencia infinita converge al valor

$$i^{i^{i^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}}=-\frac{\text{W}(-\ln(i))}{\ln(i)}=\frac{2\text{W}\left(-\frac{\pi i}{2}\right)i}{\pi}\approx0.438286+0.3605924i\tag1$$

Ver: MathWorld

• Resolviendo esta ecuación:

$$a^b=b\Longleftrightarrow b=-\frac{\text{W}(-\ln(a))}{\ln(a)}\tag2$$

Con $\text{W}(z)$ es el producto log fuction

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Obsérvese que para la "función logarítmica del producto" (o la función de Lambert $\text{W}$ -) se define como sigue:

$$f(z)=ze^z\to z=f^{-1}(ze^z)=\text{W}(ze^z)\tag3$$

Ahora, sabemos que para $k\in\mathbb{R}^+$ (real, y mayor que cero) $\ln(k)$ está bien definida.

Ahora, tu pregunta es sobre:

$$y(k)=k^{k^{k^{k^{\dots}}}}=-\frac{\text{W}\left(-\ln(k)\right)}{\ln(k)}\tag4$$

Eisenstein (1844) consideró esta serie del infinito torre de energía . $y(k)$ converge si $e^{-e}\le k\le e^{\frac{1}{e}}$ OEIS A073230 y A073229 ), como demostraron Euler (1783) y Eisenstein (1844) (Le Lionnais 1983; Wells 1986, p. 35).

Así, el dominio de $y(k)$ :

$$\left[0,e^{\frac{1}{e}}\right]\tag5$$