Bueno, tengo el siguiente problema: Dejemos que $\alpha = \{v_1,v_2,v_3\}$ y $\beta=\{u_1,u_2,u_3\}$ sean dos bases de $\mathbb{R}^3$ tal que $v_1=(1,0,1)$ , $v_2=(1,1,0)$ y $v_3=(0,1,1)$ . Se sabe que si denotamos $[I]^\alpha_\beta$ la matriz del mapa de identidad en la base $\alpha$ y $\beta$ que tenemos:
$$[I]^\alpha_\beta=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{pmatrix}$$
Encuentre $u_1,u_2,u_3$ en la base canónica. Mi planteamiento fue el siguiente: dejemos $\epsilon = \{e_1,e_2,e_3\}$ ser la base canónica de $\mathbb{R}^3$ y que $[I]^\beta_\epsilon$ sea el cambio de matriz base de $\beta$ a $\epsilon$ y $[I]^\alpha_\epsilon$ sea el cambio de matriz base de $\alpha$ a $\epsilon$ , entonces tenemos la relación
$$[I]^\alpha_\epsilon = [I]^\beta_\epsilon [I]^\alpha_\beta$$
Y queremos encontrar $[I]^\beta_\epsilon$ por lo que calculamos la inversa $([I]^\alpha_\beta)^{-1}$ y luego $[I]^\beta_\epsilon = [I]^\alpha_\epsilon ([I]^\alpha_\beta)^{-1}$ y podemos obtener el $u_i$ como las columnas de esta matriz.
Ahora, ¿hay otra forma mejor de encontrar estos vectores?
Muchas gracias de antemano.
