Demostrar que .

Question

Dejar $a\ge 3,b\ge3,c\ge3$. Demuestre que:$$\log_{2b+c}a+\log_{2c+a}b+\log_{2a+b}c\ge\frac{3}{2}$ $

No se que hacer. Reescribe en$\ln(x)$ o$e^x$ Pero no es trabajo

Answer 1

Mi solución.

Considerar el lado derecho de la expresión de la función de $f(a,b,c); a\ge 3,b\ge 3,c\ge 3 $

Así que usted tiene

$$f(a,b,c)=\log_{2b+c}{a}+\log_{2c+a}{b}+\log_{2a+b}{c}$$

Así que usted está tratando de demostrar que

$$f(a,b,c)\ge \frac{3}{2}$$

Considere el ejemplo de el valor mínimo para todas las variables (3).

$$f(3,3,3)=\log_9{3}+\log_9{3}+\log_9{3}$$ $$=3\log_9{3}$$ $$=3\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$=\frac{3}{2}$$

Así que usted ha demostrado que, para que el mínimo de los valores de todas las variables, la función es igual al valor mínimo de la mano derecha. Ahora usted tiene que demostrar que para cada variable $[a,b,c]$ el aumento de la función como un todo es cada vez mayor.

Recomendaría tomar la primera o la segunda derivada parcial para mostrar la pendiente es creciente para cada variable...