¿por qué funcionan las ecuaciones y cómo se relacionan entre sí?

Question

Bien, entiendo que una ecuación es algo así como 15 = 15 , y que el único criterio que puedo decir para que sea una ecuación es que ambos lados sean iguales.

Tengo algunas preguntas, la primera es una pregunta sobre por qué dos ecuaciones están relacionadas entre sí? Por ejemplo, si tuviera una ecuación como 15 = 15 y le restara otra ecuación 7 = 7, entonces tendría 8 = 8, que sigue siendo una ecuación sí, y entiendo que es posible volver a la ecuación original sumando 7 a ambos lados de nuevo, pero ¿es directamente igual a la ecuación original sin manipulación algebraica?

La razón por la que hago esta primera pregunta es que tengo curiosidad por saber cómo después de la manipulación algebraica un resultado de una ecuación recién obtenida se aplica directamente a la original. Si tuviera x + 5 = 8, y le restara la ecuación 5 = 5, obtendría que x = 3. Entonces encontraría que podría enchufar ese valor en el original y encontrar que 3 + 5 = 8, que es una ecuación verdadera. Pero, ¿por qué restar otra ecuación me permite encontrar la incógnita en la original?

Y por último, qué hace que las ecuaciones sean especiales y únicas respecto a las fracciones en el sentido de que puedes sumar, restar, multiplicar, dividir, etc, todo lo que quieras de ambos lados de una ecuación pero no puedes hacer eso con las fracciones. Entiendo que cuando haces eso con una fracción, el valor cambia, sin embargo, cuando haces eso con una ecuación no cambia la ecuación? ¿por qué las ecuaciones son especiales? ¿por qué puedes hacer libremente lo que quieras con una ecuación pero no con una fracción?

Answer 1

Ok, tal vez la siguiente formulación de mi respuesta sea más útil:

Una ecuación te dice que alguna cantidad (variable, constante, expresión construida a partir de variables y constantes) es idéntica a otra cantidad.

Ahora puede aplicar cualquier operación a ambos lados (la misma operación a ambos lados) y esto preservará la igualdad. Porque al fin y al cabo, si dos objetos son iguales y haces lo mismo a ambos objetos, los resultados volverán a ser idénticos.

Por ejemplo, si $x = 5y$ y se añade $5$ a ambos lados, se llega a $x + 5 = 5y + 5$ .

Esta no es la misma ecuación que la original, pero es equivalente a la ecuación original, lo que (esencialmente) significa lo siguiente: Aplicando algunas otras operaciones en ambos lados de la nueva ecuación, puedes volver a tu ecuación original (en cierto sentido, la operación que has aplicado es invertible).

En este caso, se puede restar $5$ de ambos lados. Esto conducirá a $(x+5) - 5 = 5y-5$ que lleva a $x = 5y$ de nuevo.

Tenga en cuenta que no todas las operaciones (como añadir $5$ arriba) tienen la propiedad de producir ecuaciones equivalentes (en el sentido de que se puede "volver").

Un ejemplo llamativo es el siguiente: Consideremos la ecuación $x = y$ . Ahora, multiplicando esta ecuación por $0$ produce $0\cdot x = 0\cdot y$ que se cumple para TODOS los números $x,y$ mientras que la ecuación original sólo es válida para $x=y$ .

Esto demuestra que no se puede "hacer libremente lo que se quiera" a una ecuación y seguir obteniendo "la misma" ecuación.

En resumen, lo siguiente es cierto: Dada una ecuación "original", se pueden aplicar operaciones arbitrarias a ambos lados y se obtendrán nuevas ecuaciones cuyo cumplimiento está garantizado siempre que se cumpla la ecuación "original" con la que se empezó.

Si sólo has utilizado "operaciones de equivalencia" (es decir, operaciones en las que puedes "volver atrás" mediante alguna otra operación), la ecuación original también se cumplirá siempre que la "nueva" ecuación se cumpla. (En este caso, puedes derivar una "solución" a la "nueva" ecuación y ésta será también una solución a la ecuación original).

Answer 2

Bien, volviendo a la definición de ecuación de la escuela media: una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que pueden contener incógnitas (es decir, letras que representan cantidades que aún no conocemos). Resolver una ecuación consiste en encontrar todos los valores por los que podemos sustituir la incógnita y obtener una verdadera igualdad. En este sentido : $$x + 3 = 8$$ es una ecuación (x es desconocida) y su única solución es 5 porque sólo $5+3$ es igual a $8$ no cualquier otro número más 3.

Ahora que hemos definido las ecuaciones podemos preguntarnos cómo podemos encontrar sus soluciones de forma mecánica (y estar seguros de haberlas encontrado todas). Para ello conocemos un cierto número de forma de encontrar otras ecuaciones que tienen las mismas soluciones que la original (decimos que esas ecuaciones son equivalente ya que son verdaderos/falsos para los mismos valores de la incógnita), eligiendo con precaución podemos obtener una ecuación cuyas soluciones son todas obvias. En este caso, "restando 3" a ambos miembros de nuestra primera ecuación obtenemos : $$x + 3 = 8 \quad \Leftrightarrow \quad x + 3 - 3 = 8 - 3 \quad \Leftrightarrow \quad x = 5$$ Y obviamente, 5 es la única solución de esta última ecuación... ( $\Leftrightarrow$ significa "es equivalente a" y a menudo lo hacemos implícito poniendo ecuaciones equivalentes en líneas sucesivas)

Ahora bien, ¿por qué obtenemos ecuaciones equivalentes restando 3 a cada miembro? Bueno, esto se debe a que dos ecuaciones son "equivalentes" si son verdaderas/falsas para los mismos valores de la incógnita: si tienes dos cantidades iguales y sumas/restas la misma cantidad a esas dos cantidades, seguirás teniendo cantidades iguales después, ¿no? Y del mismo modo, si empiezas con cantidades diferentes, los resultados seguirán siendo diferentes después.

Por eso puedes sumar o restar el mismo número a ambos miembros de una ecuación cuando quieras resolverla.

Por eso también se puede multiplicar o dividir por el mismo número distinto de cero.

No se puede multiplicar por cero porque aunque la igualdad inicial fuera falsa se convertirá en verdadera : $10 \neq 5$ pero $0 \times 10 = 0 \times 5$ desde $0 = 0$ .

Hay un criterio bastante simple que dicta qué operaciones puedes utilizar en ambos miembros simultáneamente y obtener una ecuación equivalente: sólo puedes utilizar operaciones que puedas invertir, es decir, que haya una operación que te permita volver al valor inicial. "Sumar 3" se invierte por "Restar 3", "Multiplicar por 5" se invierte por "Dividir por 5" y así sucesivamente. $$7 + 3 = 10 \quad 10 - 3 = 7 \qquad -5 + 3 = -2 \quad -2 - 3 = -5 \qquad ...$$ $$3 \times 5 = 15 \quad 15 \div 5 = 3 \qquad -10 \times 5 = -50 \quad -50 \div 5 = -10 \qquad ...$$

Como hay un montón de operaciones con esas características, puedes hacer muchas más que sumar/restar/multiplicar/dividir por el mismo número, pero dependiendo de tu nivel puede que no hayas visto ninguna todavía.

Ten en cuenta que la resolución de ecuaciones es un poco más de lo que he descrito aquí, en particular puedes tener casos en los que una ecuación es equivalente a varias ecuaciones (y tendrás que tener cuidado con el operador lógico que utilices en este caso : y o o ).

Answer 3

Por definición, ambos lados de la ecuación son exactamente iguales. Pueden parecer diferentes, pero son el mismo. En la ecuación $x+3=8$ queremos decir que $x+3$ en realidad es $8$ . Podríamos escribirlo en términos de esta "incógnita" $x$ pero, a la hora de la verdad, sigue siendo $8$ . Así que haz lo que quieras a ambos lados y lo estarás haciendo a lo mismo $(8)$ por lo que ambos lados deben seguir siendo iguales. $8^{12.6}+5$ es claramente lo mismo que $8^{12.6}+5$ y esto sigue siendo cierto si escribo uno de esos $8$ 's como $x+3$ es decir $(x+3)^{12.6}+5$ porque sabemos que $x+3$ es en realidad (en este caso) exactamente lo mismo que $8$ .

Espero que tenga sentido :)

Answer 4

Creo que la confusión viene de mezclar conceptos de forma inapropiada. Sólo quería señalar que no se pueden sumar ecuaciones. Considere $(15=15) + (-7=-7) = TRUE+TRUE$ pero no sé cómo sumar 2 valores lógicos (pero sí sé cómo sumarlos). En este sentido, una fracción y una ecuación no son objetos comparables. Cuando añado un valor a una fracción, su valor cambia; del mismo modo, cuando añado algo al LHS (o RHS) de una ecuación, su valor también cambia (aunque la relación entre el LHS y el RHS sigue siendo de igualdad).

La razón por la que $a=b$ implica que $a+c=b+c$ es porque lo asumimos como cierto, y no por otra razón, al igual que asumimos que todo número es igual a sí mismo. Es fundamental para nuestro propio concepto de los números y de la igualdad. Otra suposición que hacemos es que para todos los números (ya sea que nos refiramos a enteros, racionales (fracciones) o reales), la propiedad asociativa es siempre verdadera [ $(a+b)+c = a+(b+c)$ ].

Así que si asumimos que $$x+5=8$$ y que $$-5=-5$$ entonces también podemos suponer que $$(x+5)+(-5) = 8 + (-5)$$ y también suponer que $$x+(5+(-5)) = 3$$ por supuesto que me olvidé de mencionar que también tenemos que asumir que $$a+(-a)=0$$ y que $$b+0=b$$ dándonos $$x+0=3$$ $$x=3$$ ¿Y por qué puedo sustituir ahora $x=3$ en la ecuación original ( $x+5=8$ )? Es porque hemos asumido que todo número es igual a sí mismo.