Forma cerrada de la siguiente relación de recurrencia

Question

Deje $L\colon\mathbb{N}^3 \to \mathbb{N}$ satisfacer la siguiente relación de recurrencia,

$$ L(a,b,c) = 1 + \sum_{i=0}^{- 1} \sum_{j=0}^{b-1} \sum_{k=0}^{c-1} L(i,j,k), $$

Con "condiciones iniciales" $L(0,a,b) = L(c,0,d) = L(0,e,f) = 0$. Estoy interesado en conocer una forma cerrada de $L$.

El trabajo que he hecho:

He investigado un caso más sencillo $ G\colon \mathbb{N}^2\to \mathbb{N} de dólares, la satisfacción de $$G(a,b) = 1 + \sum_{i=0}^{a-1} \sum_{j=0}^{b-1} G(i,j)$$ con similar "condiciones iniciales" y se puede obtener $$G(a,b) = \binom{a+b-2}{a-1}= \binom{a+b-2}{b-1}= \frac{(a-b-2)!}{(a-1)!(b-1)!},$$ so I would have guessed that $$L(a,b,c) = \frac{(a+b+c-3)!}{(a-1)!(b-1)!(c-1)!}, $$ pero esto no es correcto. Agradecería consejos sobre cómo encontrar una solución de forma cerrada para esto.

Answer 1

Continuar de acuerdo a Fred es muy inteligente deducción de las múltiples z de transformar de ( el crédito debe ir a él, así que le invito a publicar, y de votos que se puede lanzar en él) $$ F(x,y,z) = \frac{{\frac{{x\,y\,z}} {{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)}}}} {{1 - \frac{{x\,y\,z}} {{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)}}}} = \sum\limits_{1\, \leqslant \,n} {\left( {\frac{{x\,y\,z}} {{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)}}} \right)^{\n} } $$ y teniendo en cuenta que $$ \frac{{z^n }} {{\left( {1 - z} \right)^n }} = \sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {\left( \begin{gathered} n - 1 + k \\ k \\ \end{reunieron} \right)\,\,z^{\,n + k} } = \sum\limits_{0\, \leqslant \,j} {\left( \begin{gathered} j - 1 \\ j - n \\ \end{reunieron} \right)\,\,z^{\,j} } $$ entonces tenemos $$ \begin{gathered} \sum\limits_{1\, \leqslant \,n} {\left( {\frac{{x\,y\,z}} {{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)}}} \right)^n } = \hfill \\ = \sum\limits_{0\, \leqslant \,a,\;b,\;c\;} {\left( {\sum\limits_{1\, \leqslant \,n\,\left( { \leqslant \,\min \left( {a,b,c} \right)} \right)} {\left( \begin{gathered} a - 1 \\ a - n \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} b - 1 \\ b - n \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} c - 1 \\ c - n \\ \end{reunieron} \right)} } \right)x^{\,} \, y^{\,b} \,z^{\,c} } \hfill \\ \end{se reunieron} $$ es decir, $$ \begin{gathered} L(a,b,c) = \sum\limits_{1\, \leqslant \,n\,\left( { \leqslant \,\min \left( {a,b,c} \right)} \right)} {\left( \begin{gathered} a - 1 \\ a - n \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} b - 1 \\ b - n \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} c - 1 \\ c - n \\ \end{reunieron} \right)} = \hfill \\ = \sum\limits_{1\, \leqslant \n\,\left( { \leqslant \,\min \left( {a,b,c} \right)} \right)} {\left( \begin{gathered} a - 1 \\ n - 1 \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} b - 1 \\ n - 1 \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} c - 1 \\ n - 1 \\ \end{reunieron} \right)} \hfill \\ \end{se reunieron} $$ Tenga en cuenta que:

• en 1D se vuelve $L(a,b,c) = 2^{\,a - 1} $
• en 2D $$ \begin{gathered} L(a,b) = \sum\limits_{1\, \leqslant \,n\,\left( { \leqslant \,\min \left( {a,b} \right)} \right)} {\left( \begin{gathered} a - 1 \\ a - n \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} b - 1 \\ b - n \\ \end{reunieron} \right)} = \hfill \\ = \sum\limits_{1\, \leqslant \n\,\left( { \leqslant \,\min \left( {a,b} \right)} \right)} {\left( \begin{gathered} a - 1 \\ n - 1 \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} b - 1 \\ b - n \\ \end{reunieron} \right)} = \left( \begin{gathered} a + b - 2 \\ b - 1 \\ \end{reunieron} \right) \hfill \\ \end{se reunieron} $$
• pero en 3D no sé si hay una forma cerrada.

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Anexo De nuevo gracias a Fred sugerencia, en realidad, $L(a,b,c)$ también puede ser expresada en términos de la Función Hipergeométrica, como $$ \begin{gathered} L(a,b,c) = \sum\limits_{1\, \leqslant \,n\,\left( { \leqslant \,\min \left( {a,b,c} \right)} \right)} {\left( \begin{gathered} a - 1 \\ a - n \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} b - 1 \\ b - n \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} c - 1 \\ c - n \\ \end{reunieron} \right)} = \hfill \\ = \sum\limits_{0\, \leqslant \n\,\left( { \leqslant \,\min \left( {a,b,c} \right) - 1} \right)} {\left( \begin{gathered} a - 1 \\ n \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} b - 1 \\ n \\ \end{reunieron} \right)\left( \begin{gathered} c - 1 \\ n \\ \end{reunieron} \right)} = \hfill \\ = \sum\limits_{0\, \leqslant \n\,\left( { \leqslant \,\min \left( {a,b,c} \right) - 1} \right)} {\left( { - 1} \right)^{\n} \left( \begin{gathered} n - a \\ n \\ \end{reunieron} \right)\left( { - 1} \right)^{\n} \left( \begin{gathered} n - b \\ n \\ \end{reunieron} \right)\left( { - 1} \right)^{\n} \left( \begin{gathered} n - c \\ n \\ \end{reunieron} \right)} = \hfill \\ = \sum\limits_{0\, \leqslant \n\,\left( { \leqslant \,\min \left( {a,b,c} \right) - 1} \right)} {\frac{{\left( {1} \right)^{\,\overline {\n\,} } \left( {1 - b} \right)^{\,\overline {\n\,} } \left( {1 - c} \right)^{\,\overline {\n\,} } }} {{1^{\,\overline {\n\,} } \;1^{\,\overline {\n\,} } }}\frac{{\left( { - 1} \right)^{\n} }} {{n!}}} = \hfill \\ = {}_3F_{\,2} \left( {\left( {1} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right);\;\;1,1;\;\; - 1} \right) \hfill \\ \end{se reunieron} $$ aunque, teniendo la variable $z$ fija en $-1$, no somos mucho de la explotación de la función.