$\biggl ( \prod_p G_p \biggr) /\biggl( \bigoplus_p G_p\biggr)$ es divisible

Question

Deje que$G$ sea un grupo abeliano,$p$ a prime, luego$G_p$ es el$p$ - componente principal de$G$, es decir,$$G_p = \lbrace g \in G \ | \exists \ n \in \mathbb{N} \ , p^ng = 0\rbrace

Tengo que demostrar que$$\biggl ( \prod_p G_p \biggr) /\biggl( \bigoplus_p G_p\biggr) es libre de torsión y divisible.

La parte libre de torsión es fácil, porque he demostrado que $$\biggl( \bigoplus_p G_p\biggr) = t\biggl ( \prod_p G_p \biggr)$$ $t (\ cdot)$ es la parte de torsión.

¿Cómo probar el segundo punto (divisible)?

Answer 1

Así, fijará un elemento $g = (g_{p}) \in \prod_{p} G_{p}$ y elegir en $n \in \mathbb{N}$.Queremos mostrar a $g = (g_{p})$ es divisible por $n$. Ahora, desde que libremente puede agregar términos con un número finito distinto de cero elementos, podemos suponer que el componente de $g$ es cero en los números primos que dividen a $n$. Por lo tanto, para cada $g_{p} \not = 0$, $p$ es relativamente primer a $n$. Por lo tanto, ya que para algunos $m$, $p^{m}g_{p} = 0$, el orden de $g_{p}$, se $p^{m_{p}}$, es relativamente primer a $n$ por cada $g_{p} \not = 0.$

Vamos a demostrar que existe una $h_{p} \in G$ tal que $nh_{p} = g_{p}.$ Considerar el conjunto de elementos $$S = \{ng_{p}, 2ng_{p}, 3ng_{p}\ldots\}.$$ Claramente, los elementos en $S$ son divisibles por $n$. Así, sólo tenemos que demostrar que uno de los elementos en $S$$g_{p}$. Pero que sigue demuestre que algún elemento en el conjunto de $$S' = \{n, 2n, 3n, \ldots\}$$ es $1 \mod p^{m_{p}}.$ Esto es cierto porque las $n$ es invertible $\mod p^{m_{p}}$ $p$ no divide $n$. Por lo tanto, tenemos algunas $kng_{p} = g_{p}$ y, por lo tanto, si $h_{p} = kg_{p}$,$nh_{p} = g_{p} \in G$.

Ahora, definir $h = (h_{p}) \in \prod_{p}G_{p}$, donde se definen $h_{p} = 0$ para los números primos $p$ dividiendo $n$. Entonces, el argumento en el párrafo anterior, $nh = g.$